① 依序閱讀：每節先讀說明；遇到互動元件時，先預測結果，再操作驗證。 ② 對照來源與算例：先算過本頁例子，再操作互動。計算細節、完整實作與證明預設收合，可按需要展開；各節附 Seeing Theory 網站與講義連結供對照。 ③ 檢查理解：答錯時先看回饋，再回到相關說明；標為延伸的內容可留待第二輪。 ④ 最後翻關鍵詞彙卡自測術語，並用 重點速查與來源查閱。
統計入門參考：Seeing Theory。章節旁的來源標記可點到本頁書目。
隨機變數（random variable）是一條規則：它把每個隨機結果對應到一個數。 隨機的是實驗結果；映射規則本身在實驗前已經定好。把結果變成數字後，我們才能談平均、變異數與分佈。
數值例。擲兩次公平硬幣，樣本空間是 $\Omega=\{HH,HT,TH,TT\}$。令 $X$ 為正面次數，則 $X(HH)=2$、$X(HT)=X(TH)=1$、$X(TT)=0$。注意 HT 與 TH 是不同結果，卻映到同一個數值 1。
| 原始結果 $\omega$ | HH | HT | TH | TT |
|---|---|---|---|---|
| $X(\omega)$：正面次數 | 2 | 1 | 1 | 0 |
| 結果本身的機率 | $1/4$ | $1/4$ | $1/4$ | $1/4$ |
把映到相同數值的機率加起來，就得到 $P(X=0)=1/4$、$P(X=1)=1/2$、$P(X=2)=1/4$。 這三個機率合起來才是 $X$ 的機率分佈（probability distribution）。
擲兩次公平硬幣，令 $X$ 為正面次數。$P(X=1)$ 是多少？
原始教材：Seeing Theory 第 3 章 · Random VariablesPDF p.31。本頁文字、例題與圖均重新製作。
離散隨機變數只有有限或可數個可能值，使用機率質量函數（probability mass function, PMF）： 每根柱子的高度就是某一點的機率。連續隨機變數則使用機率密度函數（probability density function, PDF）： 區間下方的面積才是機率。
$$P(X=x)=p(x)\quad\text{（離散）},\qquad P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx\quad\text{（連續）}.$$數值例。若 $X\sim U(2,6)$，密度高度為 $1/(6-2)=1/4$。 因此 $P(3\le X\le5)$ 是寬 2、高 $1/4$ 的長方形面積，也就是 $1/2$。 但 $P(X=4)=0$；單點沒有寬度，因此沒有面積。
累積分布函數（cumulative distribution function, CDF） 把左側已累積的機率記成 $F(x)=P(X\le x)$。它對離散與連續變數都適用。
$$P(a<X\le b)=F(b)-F(a).$$若是連續分布，端點的機率為 0，上式也等於 $P(a\le X\le b)$。 若是離散分布，想把左端點 $a$ 也算入，還要加上 $P(X=a)$。 以上面的 $U(2,6)$ 為例，$F(5)=3/4$、$F(3)=1/4$，相減就得到區間機率 $1/2$。 公式中的積分符號 ∫ 表示曲線下面積，本頁以長方形與圖形理解，不需要先會積分運算。
| 類型 | 可能值 | 圖的高度代表 | 區間機率 |
|---|---|---|---|
| 離散 | 有限或可數 | 該點的機率 | 把區間內的 PMF 相加 |
| 連續 | 一段連續範圍 | 每單位長度的機率密度 | 對 PDF 積分，即曲線下面積 |
某連續分佈在 $x=2$ 的密度是 1.4。下列哪個判讀正確？
原始教材：Seeing Theory 第 3 章 · Discrete and ContinuousPDF p.34。本頁文字、例題與圖均重新製作。
分佈族把常見的隨機機制寫成少數參數。Bernoulli 表示一次成敗；二項分佈表示 $n$ 次獨立、同成功率的 Bernoulli 試驗中成功幾次；均勻分佈把固定區間內等長區段給相同機率； 常態分佈由中心 $\mu$ 與尺度 $\sigma$ 決定。
| 分佈 | 記號與參數 | 平均值 | 變異數 | 常見用途 |
|---|---|---|---|---|
| Bernoulli | $X\sim\mathrm{{Bernoulli}}(p)$ | $p$ | $p(1-p)$ | 一次成敗 |
| 二項 | $X\sim\mathrm{{Binomial}}(n,p)$ | $np$ | $np(1-p)$ | $n$ 次獨立同率試驗的成功數 |
| 均勻 | $X\sim U(a,b)$ | $(a+b)/2$ | $(b-a)^2/12$ | 區間內等長範圍等可能 |
| 常態 | $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ | $\sigma^2$ | 許多小效應相加的連續量 |
每件產品獨立通過檢驗的機率為 0.8，隨機檢查 10 件並記錄通過件數。哪個模型最合適？
原始教材：Seeing Theory 第 3 章 · Discrete and ContinuousPDF p.35。本頁文字、例題與圖均重新製作。
下列 PMF／PDF 連同支撐範圍定義分布；沒有列入的離散值或區間外的密度皆為 0。
| 分布 | PMF／PDF | 範圍與參數 |
|---|---|---|
| Bernoulli | $P(X=1)=p,\ P(X=0)=1-p$ | $0\le p\le1$ |
| 二項 | $P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ | $k=0,\ldots,n$；$n\ge1$ 整數，$0<p<1$ |
| 均勻 | $f(x)=1/(b-a)$ | $a\le x\le b$；$a<b$ |
| 常態 | $f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$ | $x\in\mathbb R$；$\sigma>0$ |
二項分布的端點 $p=0$ 表示 X 恆等於 0，$p=1$ 表示 X 恆等於 n。 例如 $X\sim\mathrm{Binomial}(3,0.5)$，恰有兩次成功的機率是 $\binom32(0.5)^3=3/8$。 均勻 $U(2,6)$ 的密度為 1/4，因此落在 [3,5] 的機率為 $2/4=1/2$。
令 $X=\sum_{i=1}^nI_i$，其中 $I_i$ 是獨立、成功率同為 p 的 Bernoulli 變數。 指定 k 次成功所在位置後，該序列的機率為 $p^k(1-p)^{n-k}$，位置共有 $\binom nk$ 種。 不同序列互斥，所以加總得到 PMF。由期望值線性性及獨立性，
$$E[X]=\sum_i p=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=\sum_i p(1-p)=np(1-p).$$Poisson 分布描述固定觀察範圍內的非負整數計數，例如一段時間內到站的人數。 參數 λ 是該範圍的期望計數；模型同時限制平均與變異數相等：
$$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,\ldots,\quad\lambda>0; \qquad E[X]=\operatorname{Var}(X)=\lambda.$$指數分布（Exponential）描述非負連續等待時間，以 λ 表示率參數：
$$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}\ (t\ge0),\qquad P(T>t)=e^{-\lambda t},\qquad E[T]=\frac1\lambda,\quad\operatorname{Var}(T)=\frac1{\lambda^2}.$$以分部積分得 $E[T]=1/\lambda$、$E[T^2]=2/\lambda^2$，相減可得變異數 $1/\lambda^2$。 此外，$P(T>s+t\mid T>s)=e^{-\lambda(s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}$，這稱為無記憶性。
原始教材：Seeing Theory 第 3 章 · Poisson、二項、指數與常態PDF p.34。本頁文字、例題與圖均重新製作。
母體分佈描述單一觀測 $X$ 可能長什麼樣；抽樣分佈（sampling distribution）描述 一個統計量在重複抽取新樣本時如何變動。兩者描述的隨機量不同。
數值例。若一次公平擲骰的平均為 $\mu=3.5$、變異數為 $\sigma^2=35/12$，每次獨立擲 25 顆並取平均，則
$$E(\bar X)=3.5,\qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{35/12}{25}=\frac{7}{60},\qquad \operatorname{SD}(\bar X)\approx0.342.$$單顆骰子的結果仍然散在 1 到 6；25 顆的平均會集中在 3.5 附近。 樣本平均的變異數縮小為原來的 $1/n$，標準差縮小為 $1/\sqrt n$。
| 分佈 | 一次重複實驗記錄什麼 | 平均 | 標準差 |
|---|---|---|---|
| 原始分佈 | 一個觀測 $X$ | $\mu$ | $\sigma$ |
| 樣本平均的抽樣分佈 | $n$ 個觀測的平均 $\bar X$ | $\mu$ | $\sigma/\sqrt n$ |
原始教材：Seeing Theory 第 3 章 · Central Limit Theorem 前的抽樣準備PDF p.38。本頁文字、例題與圖均重新製作。
中央極限定理（central limit theorem, CLT）描述樣本平均的分佈形狀。 若 $X_1,X_2,\ldots$ 獨立同分佈（i.i.d.），且有有限平均 $\mu$ 與 $0<\sigma^2<\infty$，則
也就是 $n$ 足夠大時，$\bar X$ 的分佈近似 $N(\mu,\sigma^2/n)$。 「足夠大」沒有統一門檻；母體愈偏斜或尾端愈重，常態近似通常需要更大的 $n$。
下列哪個條件組合符合本頁使用的中央極限定理版本？
原始教材：Seeing Theory 第 3 章 · Central Limit TheoremPDF p.39。本頁文字、例題與圖均重新製作。
回顧本頁概念與原教材，檢查自己能否說明公式、圖形與成立條件。
增加樣本數後，某次樣本平均反而離母體平均更遠。這與大數法則矛盾嗎？
題目來源：觀念範圍對照 Seeing Theory 第 3 章與PDF pp.31–40。
需要核對完整公式、比較表或實作時，再展開下方速查。
| 概念 | 核心式 | 常見誤讀 |
|---|---|---|
| PMF | $P(X=x)=p(x)$ | 柱高就是離散點機率 |
| $P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)dx$ | 密度高度不是單點機率 | |
| 樣本平均 | $E(\bar X)=\mu$ | 平均不會除以 n |
| 樣本平均的變異 | $\operatorname{{Var}}(\bar X)=\sigma^2/n$ | 標準差是 $\sigma/\sqrt n$ |
| LLN | $\bar X$ 靠近 $\mu$ | 不保證逐步單調 |
| CLT | $(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)\Rightarrow N(0,1)$ | 描述抽樣分佈，不要求原始母體常態 |
Seeing Theory · Probability Distributions提供隨機變數、離散／連續分佈與 CLT 的原始互動章節； Seeing Theory PDF pp.31–40提供定義、分佈族與定理脈絡。
詞彙卡整理本頁依 Seeing Theory 編寫的概念解說中常用的統計或機器學習專有名詞，正面附英文名稱。 先看正面的術語，試著說出定義，再翻面核對。可以洗牌複習，也可以搭配本章例子練習解釋。