① 依序閱讀：每節先讀說明；遇到互動元件時，先預測結果，再操作驗證。 ② 對照來源與算例：先算過本頁例子，再操作互動。計算細節、完整實作與證明預設收合，可按需要展開；各節附 Seeing Theory 網站與講義連結供對照。 ③ 檢查理解：答錯時先看回饋，再回到相關說明；標為延伸的內容可留待第二輪。 ④ 最後翻關鍵詞彙卡自測術語，並用 重點速查與來源查閱。
統計入門參考：Seeing Theory。章節旁的來源標記可點到本頁書目。
做機率題的第一步，是把「可能發生什麼」說清楚。樣本空間（sample space） 記作 $\Omega$，包含一次實驗的所有可能結果；事件（event）則是其中一部分。 例如擲一顆公平六面骰，$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$。令 $A=\{2,4,6\}$ 表示「偶數」，$B=\{4,5,6\}$ 表示「至少 4」。
上例中，$A\cap B=\{4,6\}$，所以 $P(A\cap B)=2/6=1/3$； $A\cup B=\{2,4,5,6\}$，所以 $P(A\cup B)=4/6=2/3$。若兩個事件可能重疊， 加法規則要把重複算到的交集扣掉：
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$| 事件 | 包含的點數 | 機率 | 讀法 |
|---|---|---|---|
| $A$ | 2、4、6 | $3/6$ | 骰出偶數 |
| $B$ | 4、5、6 | $3/6$ | 骰出至少 4 |
| $A\cap B$ | 4、6 | $2/6$ | 既是偶數且至少 4 |
| $A\cup B$ | 2、4、5、6 | $4/6$ | 是偶數或至少 4（含兩者皆是） |
原始教材：Seeing Theory 第 2 章 · Set TheoryPDF p.19。本頁文字、例題與圖均重新製作。
在機率題與資料篩選中，分配律和 De Morgan 定律能幫你改寫條件：
$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C),$$ $$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c,\qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c.$$例如「沒有同時通過兩項檢查」表示「至少一項沒通過」；它與「兩項都沒通過」不同。
寫 pandas 條件時，每個條件加括號，並以 ~、&、| 對應取反、且、或。
任取一個結果 ω。它屬於 $A\cap(B\cup C)$，恰好表示它在 A 中，而且在 B 或 C 中； 這等價於它在 $A\cap B$ 或 $A\cap C$ 中，所以兩集合相同。 同理，ω 不屬於 $A\cup B$，恰好表示它既不在 A 也不在 B；ω 不屬於 $A\cap B$，則表示至少不在其中一個集合。 逐一改寫便得到兩條 De Morgan 定律。
原始教材：Seeing Theory 第 2 章 · 分配律與 De Morgan 定律PDF p.20。本頁文字、例題與圖均重新製作。
條件機率（conditional probability）會把分母換掉。$P(A\mid B)$ 的意思是： 已知 $B$ 發生後，只在 $B$ 這個縮小的樣本空間裡，計算同時也屬於 $A$ 的比例。
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\qquad(P(B)>0).$$原始教材：Seeing Theory 第 2 章 · Conditional ProbabilityPDF p.27。本頁文字、例題與圖均重新製作。
若知道 $B$ 發生後，$A$ 的機率完全不變，我們稱 $A$ 與 $B$ 獨立（independent）：
$$P(A\mid B)=P(A),$$只要相關機率有定義，這等價於乘法式：
$$P(A\cap B)=P(A)P(B).$$例如連續擲兩次公平硬幣，令 $A$ 為「第一次正面」、$B$ 為「第二次正面」。 四個結果 HH、HT、TH、TT 等可能，$P(A)=P(B)=1/2$ 且 $P(A\cap B)=1/4$， 正好等於乘積。知道第一次結果，不會改變第二次正面的機率。
| 關係 | 定義／檢查式 | 知道 B 後對 A 的影響 | 能否同時發生 |
|---|---|---|---|
| 獨立 | $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ | 不改變 | 通常可以 |
| 互斥 | $A\cap B=\varnothing$ | B 發生便排除 A | 不可以 |
一顆公平骰子只擲一次。$A$＝出現偶數，$B$＝出現 5。兩事件的關係是什麼？
原始教材：Seeing Theory 第 2 章 · Set Theory 與條件機率PDF p.21。本頁文字、例題與圖均重新製作。
Bayes 定理用來把條件方向翻過來。已知「有病時驗出陽性」並不等於 「驗出陽性時真的有病」；後者還取決於疾病原本有多常見。
$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}.$$若 $A$ 與 $A^c$ 分割所有人，分母可用全機率公式展開：
$$P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c).$$原始教材：Seeing Theory 第 2 章 · Bayes RulePDF p.28。本頁文字、例題與圖均重新製作。
當 $P(A)>0$、$P(B)>0$，由條件機率定義，
$$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A).$$兩邊除以 $P(B)$ 即得 Bayes 公式。若 $A_1,\ldots,A_K$ 是互斥且涵蓋全部結果的分割， 所有使用到的條件機率有定義，則 $B$ 被 $B\cap A_k$ 分割，因而
$$P(B)=\sum_kP(B\mid A_k)P(A_k).$$零機率類別的聯合機率為 0，可直接省略，無須定義該類別上的條件機率。
當結果等可能，機率可以用符合條件的結果數除以全部結果數。更多計數技巧可在需要時再讀。
當每個基本結果等可能時，機率常化成「符合條件的數量／全部數量」。計數時先問順序是否重要。 從 $n$ 個不同物件中選 $r$ 個：若順序重要，用排列；若只在乎選了哪一些，用組合。
$$P_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!},\qquad \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}.$$符號 $n!$ 讀作 n 的階乘，表示從 n 乘到 1，例如 $4!=4\times3\times2\times1=24$；約定 $0!=1$。這裡 n 與 r 為整數，且 $0\le r\le n$，每個物件最多選一次。
原始教材：Seeing Theory 第 2 章 · CountingPDF p.23。本頁文字、例題與圖均重新製作。
回顧本頁概念與原教材，檢查自己能否說明公式、圖形與成立條件。
某警報在火災時有 98% 會響，無火災時有 2% 會誤響。要算警報響後有火災的機率，還缺哪項？
題目來源：觀念範圍對照 Seeing Theory 第 2 章與PDF pp.19–30。
需要核對完整公式、比較表或實作時，再展開下方速查。
| 看到的語句 | 分母／計算 | 先檢查 |
|---|---|---|
| A 或 B | $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ | 交集是否被重複計算 |
| 已知 B，求 A | $P(A\cap B)/P(B)$ | $P(B)>0$ |
| A、B 獨立 | $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ | 不能只靠語感判斷 |
| 由 B 反推 A | $P(B\mid A)P(A)/P(B)$ | 先驗／基準率與分母 |
| 選 r 個且順序重要 | $n!/(n-r)!$ | 是否可重複選 |
| 選 r 個且順序不重要 | $\binom{{n}}{{r}}$ | 是否每組等可能 |
Seeing Theory · Compound Probability提供集合、計數與條件機率的原始互動章節； Seeing Theory PDF pp.19–30提供公式推導與完整例題脈絡。
詞彙卡整理本頁依 Seeing Theory 編寫的概念解說中常用的統計或機器學習專有名詞，正面附英文名稱。 先看正面的術語，試著說出定義，再翻面核對。可以洗牌複習，也可以搭配本章例子練習解釋。