三個 Lab 已經練過「提出要求、執行、檢查結果」。接著選一題你感興趣的問題，把同樣的方法用在新的情境。不需要先學完所有公式；每題先補上直覺，再說明要交付什麼。

開始前：先寫出你怎麼判斷完成

沿用工作坊的 ai-math-lab 資料夾與 uv 環境。下面三題只用既有的 numpy、matplotlib 與 networkx，不需要登入新服務或安裝其他模型。

每題都留下程式、圖和一小段筆記。圖放 figs/，筆記放 notes/。讓 agent 實際執行程式，接著由你打開成果、讀懂檢查的意義。可以參考把工作做完整的任務模板。

線性代數：用較少資訊近似一張影像

先看問題

一張灰階影像可以排成矩陣：每個數字是一個像素的亮度。如果畫面有重複的紋理，也許不用記住每個像素，就能保留大部分形狀。

秩一矩陣是「一個直向向量乘上一個橫向向量」得到的表格。把幾個這種簡單圖樣加起來，就能近似原圖。SVD（奇異值分解）提供一種排序方式，讓我們從最重要的圖樣開始保留。

想接到公式時再看

SVD 把矩陣寫成 $A=U\Sigma V^\top$。只保留最大的 $k$ 個奇異值，得到 $A_k=U_{:k}\Sigma_{:k}V_{:k}^\top$。

這裡的誤差使用平方和 $\|A-A_k\|_F^2$，也就是所有像素差的平方相加。它等於被捨棄的奇異值平方和。這個等式可以幫我們獨立核對程式，而不只看圖像是否相似。

交給 agent 的任務

用 numpy 和 matplotlib 寫 low_rank.py，先用白話說明低秩近似。
用 np.linspace(-1, 1, 48) 產生座標，np.meshgrid 得到 x, y；
建立 A = exp(-5*(x*x+y*y)) + 0.2*cos(6*x+3*y)。
用 np.linalg.svd(A, full_matrices=False) 做分解，保留 k=1、2、4 個成分。
所有影像共用原始 A 的 vmin/vmax，並標明它是示意亮度，不是下載的真實照片。
將原圖和三張近似圖排成一張 figs/low_rank.png。
印出每個 k 的重建平方誤差，與被捨棄奇異值的平方和比對。
驗證誤差隨 k 增加不會變大；再用完整分解確認可重建原矩陣。
用 uv run python low_rank.py 實際執行。
最後寫 notes/low_rank.md：哪些圖樣先留下？圖看起來接近，是否就能代表程式正確？

換你判讀

• 原矩陣是三個秩一圖樣的和，所以保留四個成分已足以在浮點誤差內重建；不要把這個特殊例子當成所有影像的結果。
• 先檢查平方誤差與尾端奇異值平方和是否接近，再檢查圖。兩種證據互相補充。
• 改成自己設計的紋理後，先預測需要的成分會變多還是變少，再請 agent 執行。

微積分：步子太大，會不會越走越遠

先看問題

找 $f(x)=(x-3)^2$ 的最小值，可以直接看出答案在 $x=3$。我們刻意用已知答案的問題，檢查 agent 寫出的梯度下降。

導數 $f'(x)=2(x-3)$ 告訴你函數往哪邊上升。每次沿反方向走一小步：$x_{t+1}=x_t-\eta f'(x_t)$，其中 $\eta$ 是步長。

交給 agent 的任務

寫 gradient_steps.py，求 f(x)=(x-3)^2 的最小值。
先解釋導數如何決定移動方向，再從 x0=0 開始，
分別用步長 0.1、0.8、1.1 做 30 次梯度下降。
印出最後的 x 與 f(x)，保留完整迭代軌跡。
把三種步長的 f(x) 隨迭代次數變化畫在同一張圖，y 軸用對數刻度，
存成 figs/gradient_steps.png。
用中央差分在 x=0、1、4 檢查你寫的導數，h=1e-5。
另外逐步比對解析式 x_t-3 = (1-2*eta)^t*(x0-3)。
用 uv run python gradient_steps.py 執行，
寫 notes/gradient_steps.md，說明哪個步長收斂、哪個振盪，以及哪個發散。

換你判讀

• $0.1$ 的步長逐漸靠近最小值；$0.8$ 左右交替，但距離仍縮短；$1.1$ 的距離越來越大。
• 「左右交替」不一定是失敗。觀察的是離解的距離是否縮小，而不是每一步都走同一個方向。
• 這個二次函數有簡單的解析式。換成其他函數時，不能直接沿用相同的收斂範圍。

為什麼能用解析式驗證

代入更新式可得 $x_{t+1}-3=(1-2\eta)(x_t-3)$。所以誤差每次乘上同一個數，遞推就得到任務中的公式。

當 $|1-2\eta|<1$，誤差的大小縮小；當這個倍數為負，誤差正負交替。這樣就能用代數獨立檢查迴圈，而不是拿兩份幾乎相同的程式互相比。

離散數學：最短路線可以怎麼驗

先看問題

把地點當作點、可以走的路當作邊，每條邊標上距離，便得到一張帶權重的圖。我們用小型虛構路網練習，不把它當成實際校園地圖。

這題不要求先學過圖論。只要知道「一路走過的距離要相加」，就能先找一條路，再檢查有沒有更短的。下面的「簡單路徑」指不重複經過同一個點的路徑。

交給 agent 的任務

寫 shortest_path.py，用 networkx 建立無向圖：
A-B:2、A-C:5、B-C:1、B-D:4、C-D:1、C-E:5、D-E:1。
先列出各邊，再用 Dijkstra 找 A 到 E 的最短路徑與總距離。
獨立列舉所有 A 到 E 的簡單路徑，逐條把邊長加總，核對最小值。
把圖和最短路徑畫到 figs/shortest_path.png，佈局使用固定座標：
A=(0,1)、B=(1,2)、C=(1,0)、D=(2,1)、E=(3,1)。
再加一個沒有連邊的 F，確認查詢 A 到 F 時能清楚回報「無路徑」。
用 uv run python shortest_path.py 執行，
寫 notes/shortest_path.md：列舉法為何適合驗證這張小圖，卻不適合大型路網？

換你判讀

• A → B → C → D → E 的距離是 $2+1+1+1=5$。列舉結果應確認沒有更短的路線。
• Dijkstra 的這項用法要求邊長非負；這題所有邊長都是正數。
• 沒有路徑是合法的問題結果，程式應能處理，不應把它當成距離零。

做完一題之後

請用自己的話回答：「agent 幫我省下哪一段工作？哪個數學判斷仍然由我負責？」接著把問題改一個條件，再使用工作法練習要求 agent 先說明需要改哪些地方。

如需對照，可閱讀講師參考程式。先完成自己的版本，再比較驗證方式；不要只比程式長得像不像。