本講義主角是定義在 $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 上的四個概念：連續、偏導數存在、方向導數對所有單位向量都存在、可微。一變數時鏈條較強（可微 $\Rightarrow$ 連續，且導數即為唯一的「方向導」）；但一旦進到兩變數，它們之間絕大多數的「蘊涵關係」都會破裂，必須用反例來看清楚邊界。
下面這張圖把成立的方向（綠色實線箭頭，標 定理）與不成立的方向（紅色虛線箭頭，標反例 例題 編號）一次列出。所有反例都建構在原點 $(0,0)$ 上，是常見的多變數病態案例。
下表把上圖所有指向關係寫成「假設 ⇒ 結論」的形式。✓ 表示恆成立，✗ 表示有反例。「方向導存在 ⇒ 偏導存在」是平凡成立（取 $\vec u = \langle 1,0\rangle$ 與 $\vec u = \langle 0,1\rangle$ 即得 $f_x, f_y$），列在表中以求完整。
| 蘊涵關係 | 真假 | 證據 |
|---|---|---|
| 連續 $\Rightarrow$ 偏導 $f_x, f_y$ 存在 | ✗ | 例題 1：$f(x,y)=|x|$ |
| 偏導 $f_x, f_y$ 存在 $\Rightarrow$ 連續 | ✗ | 例題 2：$f=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ |
| 偏導 $f_x, f_y$ 存在 $\Rightarrow$ 方向導 $D_{\vec u} f$ 對全 $\vec u$ 存在 | ✗ | 例題 3（同 例題 2 函數） |
| 偏導 $f_x, f_y$ 存在 $\Rightarrow$ 可微 | ✗ | 例題 4（同 例題 2 函數） |
| 方向導 $D_{\vec u} f$ 對全 $\vec u$ 存在 $\Rightarrow$ 偏導存在 | ✓ | 取 $\vec u = \langle 1,0\rangle, \langle 0,1\rangle$（定義即得） |
| 方向導 $D_{\vec u} f$ 對全 $\vec u$ 存在 $\Rightarrow$ 可微 | ✗ | 例題 5：$f=\dfrac{x^3}{x^2+y^2}$ |
| 方向導 $D_{\vec u} f$ 對全 $\vec u$ 存在 $\Rightarrow$ 連續 | ✗ | 例題 6：$f=\dfrac{x^2 y}{x^4+y^2}$ |
| 可微 $\Rightarrow$ 連續、偏導存在、方向導對全 $\vec u$ 存在 | ✓ | 定理 A（例題 7） |
| 偏導 $f_x, f_y$ 連續 $\Rightarrow$ 可微 | ✓ | 定理 B（例題 8） |
| 可微 $\Rightarrow$ 偏導 $f_x, f_y$ 連續 | ✗ | 例題 9：$f=(x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ |
在多變數的世界裡，「可微」是最強的條件：可微 $\Rightarrow$ 連續、$\Rightarrow$ 偏導存在、$\Rightarrow$ 方向導對所有 $\vec u$ 存在。但反過來只有「偏導連續」這個更強的條件能反推可微（定理 B），其它逆向都失敗。
以下統一假設 $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 是定義在某個開集合上的兩變數實值函數，並令 $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ 為討論點。
若
則稱 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 連續。
關鍵：兩變數的「極限存在」要求沿任何路徑趨近 $(x_0, y_0)$ 都得到同一個值。任何兩條路徑得出不同極限，就足以否決連續性。
分別定義為
前提是右側極限存在。
幾何上，$f_x(x_0, y_0)$ 是把 $y$ 固定在 $y_0$、只讓 $x$ 變動所得單變數曲線在 $x_0$ 處的切線斜率；$f_y$ 同理。偏導只看坐標軸方向 — 這是它與「方向導數」最大的差別。
設 $\vec{u} = \langle a, b \rangle$ 為單位向量（$a^2 + b^2 = 1$）。$f$ 在 $\vec{u}$ 方向的方向導數定義為
前提是右側極限存在。
取 $\vec u = \langle 1, 0\rangle$ 即得 $f_x$，取 $\vec u = \langle 0, 1\rangle$ 即得 $f_y$。所以「方向導對所有 $\vec u$ 存在」蘊涵「偏導存在」，但反之不成立（見 例題 3）。
若存在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$（依賴於 $\Delta x, \Delta y$），滿足
且
則稱 $f$ 在 $(x, y)$ 可微。
直觀：可微 = 可被「一個切平面」很好地近似。把切平面上的線性主部 $f_x \Delta x + f_y \Delta y$ 拿掉之後，剩下的誤差 $\varepsilon_1 \Delta x + \varepsilon_2 \Delta y$ 必須比 $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 衰減得更快（因為 $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0$）。注意可微性的定義內就引用了 $f_x, f_y$，所以可微的前提是偏導存在。
本節依序給出六個經典反例，把兩個方向之間的「期望蘊涵」一一打破。每個反例的函數都定義在 $\mathbb{R}^2$ 上、在原點附近呈現病態行為，建議搭配 §1 的概念地圖一起閱讀。
令 $f(x,y) = |x|$。
$|x|$ 對 $x$ 連續，與 $y$ 無關，所以 $f$ 在原點 $(0,0)$（事實上整個 $\mathbb{R}^2$）連續。
依定義
右極限為 $+1$（$\Delta x > 0$ 時），左極限為 $-1$（$\Delta x < 0$ 時），兩者不相等，故 $f_x(0,0)$ 不存在。
令
沿 $x$ 軸（即 $y=0$）：$f(\Delta x, 0) = \dfrac{\Delta x \cdot 0}{(\Delta x)^2} = 0$，所以
同理 $f_y(0,0) = 0$。所以兩個偏導都存在且皆為 $0$。
當 $(x, y) \to (0, 0)$ 沿直線 $y = mx$（$x \ne 0$）：
此值與斜率 $m$ 有關（例如 $m = 1$ 時為 $1/2$，$m = 0$ 時為 $0$），代表沿不同直線得到不同的「極限值」，所以
故 $f$ 在 $(0,0)$ 不連續。
仍然令
由 例題 2 已知 $f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$。
取單位向量 $\vec u = \langle a, b \rangle$，$\|\vec u\| = 1$（即 $a^2 + b^2 = 1$），且 $ab \ne 0$。
把分子分母化簡：$(ta)(tb) = t^2 ab$，$(ta)^2 + (tb)^2 = t^2 (a^2 + b^2) = t^2$，故
當 $ab \ne 0$，$\dfrac{ab}{t} \to \pm\infty$（隨 $t$ 趨於 $0^+$ 或 $0^-$ 而異號），故極限不存在。
仍然令
由 例題 2：$f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$ 都存在，但 $f$ 在 $(0,0)$ 不連續。
而 定理 A（即 例題 7）告訴我們「可微 $\Rightarrow$ 連續」。對其取逆否命題：
所以 $f$ 在 $(0,0)$ 不可微。
令
取 $\vec u = \langle a, b \rangle$，$\|\vec u\| = 1$，即 $a^2 + b^2 = 1$。
所以 $D_{\vec u} f(0,0) = a^3$ 對所有單位向量 $\vec u$ 都存在。特別地：
若 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，則對任一 $\vec u = \langle a, b\rangle$（$a^2 + b^2 = 1$）必有
但由步驟 1，$D_{\vec u} f(0,0) = a^3$。要求
對其它單位向量（如 $\vec u = \langle \tfrac{1}{\sqrt 2}, \tfrac{1}{\sqrt 2}\rangle$，$a = \tfrac{1}{\sqrt 2}$）就不滿足，矛盾。所以 $f$ 在 $(0,0)$ 不可微。
令
取 $\vec u = \langle a, b \rangle$，$\|\vec u\| = 1$。
分情況：
故方向導對所有單位向量 $\vec u$ 都存在，數值為
沿坐標軸 $y = 0$：$f(x, 0) = \dfrac{x^2 \cdot 0}{x^4 + 0} = 0 \to 0$。
沿拋物線 $y = x^2$（$x \ne 0$）：
當 $x \to 0$，沿軸路徑得 $0$、沿拋物線路徑得 $\tfrac{1}{2}$，兩條路徑得到不同極限值，故
$f$ 在 $(0,0)$ 不連續。
反例這麼多，看似四個概念互不相關。但其實有兩條保底的正向蘊涵，它們把「可微」放在中央：可微推出其它三件事；偏導連續又推回可微。這兩條合起來就是多變數微分學的骨幹。
若 $f$ 在 $(x, y)$ 可微，則
此處使用「可微 $\Rightarrow$ 連續，且 $f_x, f_y, D_{\vec u} f$ 存在」這個標準定理；它的逆命題不成立 — 反例見 §3 的例題 1、例題 2、例題 4。
若 $f_x, f_y$ 在 $(x, y)$ 的某鄰域內存在且在 $(x, y)$ 連續，則 $f$ 在 $(x, y)$ 可微。
此處使用「$f_x, f_y$ 存在且連續 $\Rightarrow$ 可微」這個標準定理。它的逆命題不成立 — 反例就是下節的例題 9。
可微 ⇒ 連續、偏導存在、方向導存在。
用法：反推不可微（找不連續或方向導不存在的點）。
偏導連續 ⇒ 可微。
用法：正向證可微（驗證偏導本身連續即可）。
這是全篇最精緻的反例，也是 定理 B 的逆命題不成立的直接證據。它示範了：一個函數可以真的可微（用 $\varepsilon$ 構造驗證），但是它的偏導 $f_x, f_y$ 在該點本身不連續。換言之，「可微」未必能保證「偏導是連續函數」。
令
沿 $x$ 軸（$y = 0$）：$f(\Delta x, 0) = (\Delta x)^2 \sin\!\dfrac{1}{|\Delta x|}$，所以
（因為 $\big|\sin\!\tfrac{1}{|\Delta x|}\big| \le 1$，整體被 $|\Delta x|$ 夾擠至 $0$。）
同理 $f_y(0,0) = 0$。
令 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，把 $f = r^2 \sin\!\tfrac{1}{r}$ 對 $x$ 偏微分：
同理
沿 $x$ 軸取極限（即把 $y = 0$ 代入並讓 $x \to 0$）：
當 $x \to 0$，第一項 $2x\sin\!\tfrac{1}{|x|} \to 0$（被 $|2x|$ 夾擠）；但第二項 $\dfrac{x}{|x|}\, \cos\!\tfrac{1}{|x|} = \pm \cos\!\tfrac{1}{|x|}$ 在 $\pm 1$ 之間振盪，沒有極限。所以
從而 $\partial f/\partial x$ 在 $(0, 0)$ 不連續。同理 $\partial f / \partial y$ 在 $(0, 0)$ 也不連續。
令
(i) $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0$： $|\sin| \le 1$，所以 $|\varepsilon_1| \le |\Delta x| \to 0$，同理 $\varepsilon_2 \to 0$。
(ii) 等式成立： 因 $f(0,0) = f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$，由 定義 4 待證的等式右側為
而左側
兩側相等，所以等式成立。
(i) + (ii) ⇒ 由 定義 4，$f$ 在 $(0, 0)$ 可微。
| 編號 | 函數（在原點外） | 用途 |
|---|---|---|
| 例題 1 | $f = |x|$ | 連續但偏導不存在 |
| 例題 2 / 3 / 4 | $f = \dfrac{xy}{x^2+y^2}$ | 偏導存在 ⇏ 連續 / 方向導 / 可微 |
| 例題 5 | $f = \dfrac{x^3}{x^2+y^2}$ | 方向導存在 ⇏ 可微 |
| 例題 6 | $f = \dfrac{x^2 y}{x^4+y^2}$ | 方向導存在 ⇏ 連續 |
| 例題 9 | $f = (x^2+y^2)\sin\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ | 可微 ⇏ 偏導連續 |
多變數的「可微」遠強於「偏導存在」；要證可微，最方便的工具是 定理 B（偏導連續 ⇒ 可微）；要否決可微，最方便的工具是 定理 A 的逆否（不連續 ⇒ 不可微）或方向導不滿足線性公式。