過去的 $y = f(x)$ 把一個實數映成另一個實數。本節要把輸入端推廣到「有序實數對 $(x,y)$」甚至「有序三元組 $(x,y,z)$」。輸入維度提高之後，圖形不再是平面曲線，而變成三維空間中的曲面；表達「水平」資訊的工具則是等高線與等位面。
設 $D$ 是一個有序實數對的集合。如果對 $D$ 中任一個序對 $(x,y)$ 恆有唯一的實數 $f(x,y)$ 與之對應，則 $f$ 就稱為一個 $x$ 和 $y$ 的函數。集合 $D$ 是 $f$ 的定義域，所對應的 $f(x,y)$ 的全體稱為 $f$ 的值域。
同樣的概念可以推到三變數 $f(x,y,z)$、$n$ 變數 $f(x_1,\dots,x_n)$。不過畫得出來的「函數圖形」只有兩變數函數能直接視覺化（在三維空間中），這也是本章主要聚焦兩變數的理由。
講義例題要求找下列函數的定義域：
$x^2+y^2-9\ge 0$ 且分母 $x\ne 0$。
定義域： $\sqrt{x^2+y^2-9}$ 要求 $x^2+y^2\ge 9$，且 $x\ne 0$，所以 $\{(x,y):x^2+y^2\ge 9,\ x\ne 0\}$。
分母不可為 0，根號內要嚴格正。
定義域： $\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2<9\}$。
下面的範例採 $f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}$。定義域要求被開根號的部分非負，因此 $D = \{(x,y) : x^2+y^2 \le 9\}$ — 一個半徑 3 的閉圓盤。把點 $P$ 拖到圓盤內可以得到實數值；拖出圓盤外則 $f$ 沒有定義。
給定函數 $z = f(x,y)$，集合 $\{(x,y,z) : z = f(x,y),\ (x,y) \in D\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的一個子集，稱為 $f$ 的圖形，通常是一個曲面。此互動只保留講義 例題 2：$f(x,y)=\sqrt{16-4x^2-y^2}$，避免引入講義此處尚未定義的符號或額外圖形；用滑鼠拖曳旋轉，滾輪縮放。
講義例題：$f(x,y)=\sqrt{16-4x^2-y^2}$。
把曲面 $z = f(x,y)$ 用水平面 $z = c$（常數）切開，交線投影到 $xy$ 平面就是等高線，方程式為 $f(x,y) = c$。主預設採講義 例題 3 的半球，並以 例題 4 的雙曲拋物面對照。
使用等高線定義 等高線就是 $f(x,y)=c$。半球 $f(x,y)=\sqrt{64-x^2-y^2}$ 滿足 $$\sqrt{64-x^2-y^2}=c.$$ 因為根號值非負，必須 $0\le c\le8$。平方後得到 $$x^2+y^2=64-c^2,$$ 所以 $c=0,1,\ldots,8$ 時，是半徑 $\sqrt{64-c^2}$ 的同心圓；特別地，$c=8$ 是原點單點。
使用等高線定義 雙曲拋物面 $z=y^2-x^2$ 的等高線由 $z=c$ 給出： $$y^2-x^2=c.$$ 若 $c>0$，雙曲線開口沿 $y$ 方向；若 $c<0$，可寫成 $x^2-y^2=-c$，開口沿 $x$ 方向；若 $c=0$，則 $y^2=x^2$，也就是 $y=\pm x$。
三變數函數 $w = F(x,y,z)$ 沒辦法直接畫出（要 4 維），但可以畫出等位面：方程式 $F(x,y,z) = c$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中的圖形。主預設採講義 例題 6：$F(x,y,z)=4x^2+y^2+z^2$ 的橢球族。
本節示範的所有曲面、等高線、等位面，在實務上多由數學軟體產生。常用工具：
一變數的極限只需考慮從左、右兩個方向逼近。兩變數則完全不同：點 $(x,y)$ 可以從無數條路徑逼近 $(x_0, y_0)$，而極限存在意味著沿任何路徑得到的值都相同。這也讓「證明極限不存在」變得相對容易：找到兩條路徑得到不同值即可。
在 $\mathbb{R}$ 上，$x_0$ 的「半徑 $\delta$ 鄰域」是開區間 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$。在 $\mathbb{R}^2$ 上，類似的概念叫開圓盤 (open disk)：
把點 $P$ 拖到平面上不同位置，下方互動會即時告訴你它與藍色測試區域的關係：內部點（被開圓盤完全包住）、邊界點（任何鄰域都同時含區域內外的點）、外部點（被開圓盤排除）。
設 $f$ 是一個在以 $(x_0,y_0)$ 為中心的開圓盤上、其中除了 $(x_0,y_0)$ 可能無定義外到處都有定義的函數，$L$ 是一個實數。記號
的意思是：任給一個 $\varepsilon > 0$，恆有一 $\delta > 0$ 與之對應，使得只要
直觀上，$(x,y)$ 不管從哪一條路徑靠近 $(x_0,y_0)$，函數值都必須靠近同一個數 $L$。本講義例題聚焦直接代入、夾擠定理、不同路徑與極座標，不另外加入 epsilon-delta 證明例題。
本節練習講義中最常用的判斷工具：直接代入、夾擠定理、不同路徑與極座標。切換函數與路徑時，請把一般路徑代換視為反例測試：如果不同路徑給不同值，可判定極限不存在；如果某幾條路徑剛好同值，仍不能直接推出極限存在。
使用連續函數商法則 在 $(1,2)$ 時分母 $1^2+2^2\ne0$，所以有理函數在該點連續，可以直接代入： $$\lim_{(x,y)\to(1,2)}\dfrac{5x^2y}{x^2+y^2} =\dfrac{5(1)^2(2)}{1^2+2^2}=2.$$
使用夾擠定理 在 $(0,0)$ 不能直接代入，因為分母為 0。先證絕對值上界：由 $0\le x^2\le x^2+y^2$ 得 $$0\le \left|\dfrac{5x^2y}{x^2+y^2}\right| =5|y|\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\le 5|y|.$$ 因此原函數被兩側夾住： $$-5|y|\le \dfrac{5x^2y}{x^2+y^2}\le 5|y|.$$ 兩側函數滿足 $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}(-5|y|)=0,\qquad \lim_{(x,y)\to(0,0)}5|y|=0.$$ 因此由夾擠定理， $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{5x^2y}{x^2+y^2}=0.$$
使用極座標 這不是選一條路徑，而是把原點附近所有方向寫成 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，所以 $(x,y)\to(0,0)$ 等價於 $r\to0^+$： $$\dfrac{5x^2y}{x^2+y^2}=5r\cos^2\theta\sin\theta.$$ 角度因子 $\cos^2\theta\sin\theta$ 永遠介於 $-1$ 與 $1$ 之間，不會隨 $r\to0^+$ 發散；因此整個式子是「有共同上界的角度因子」乘上 $r$。所以 $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{5x^2y}{x^2+y^2} =\lim_{r\to0^+}5r\cos^2\theta\sin\theta=0.$$
使用路徑判別法 若二變數極限存在，沿任何路徑靠近原點都必須得到同一個極限。沿 $y=0$： $$\lim_{x\to0}\left(\dfrac{x^2-0}{x^2+0}\right)^2=1.$$ 沿 $y=x$： $$\lim_{x\to0}\left(\dfrac{x^2-x^2}{x^2+x^2}\right)^2=0.$$ 兩條路徑給出不同極限值，因此原極限不存在。
使用極座標判別 極座標同時檢查所有靠近原點的方向。代入 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$： $$\left(\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)^2=(\cos^2\theta-\sin^2\theta)^2=\cos^2(2\theta),$$ 因而 $$\lim_{r\to0^+}\left(\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)^2 =\lim_{r\to0^+}\cos^2(2\theta)=\cos^2(2\theta).$$ 這個結果仍依賴靠近原點的角度 $\theta$。例如 $\theta=0$ 得 $1$，$\theta=\pi/4$ 得 $0$，所以原極限不存在。
下表前兩列是「選特定路徑」的反例工具：若代換後的極限隨參數（$m$、$k$、$n$、$\ell$ 等）變動，或與另一條路徑不同，原極限就不存在。反過來說，檢查許多條路徑都相同仍不構成存在證明。極座標、柱座標、球座標則是完整座標變換；它們可用來證明存在，但必須把方向參數共同控制住。
| 工具類型 | 代換 | 能推出什麼 |
|---|---|---|
| 冪次路徑（反例） | $y = m x^k$ | 把原問題限制到一族曲線：$\lim_{x \to 0} f(x, m x^k)$。若結果依 $m$ 或 $k$ 變，極限不存在；若結果不變，仍不能證明存在。 |
| 對稱冪次路徑（反例） | $x = n y^\ell$ | 把原問題限制到另一族曲線：$\displaystyle\lim_{y\to0} f(ny^\ell,y)$。用途同上，主要用來找不同路徑的反例。 |
| 極座標（完整座標變換） | $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$ | 把原點附近所有方向寫成 $\displaystyle\lim_{r\to0^+} f(r\cos\theta,r\sin\theta)$。若結果依 $\theta$，極限不存在；若可寫成 $A(\theta)B(r)$ 且 $A(\theta)$ 有共同上界、$B(r)\to0$，則可證明極限為 0。 |
| 柱座標 (3-var) | $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z$ | 不是單一路徑；需同時控制 $r\to0$ 與 $z\to0$，並確認角度項有共同上界，才能證明存在。 |
| 球座標 (3-var) | $x = \rho\sin\phi\cos\theta,\ \dots$ | 把 $\displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}f$ 改寫為 $\displaystyle\lim_{\rho\to0^+} f(\rho,\theta,\phi)$；若角度項有共同上界且剩下的 $\rho$ 項趨近 0，可證明極限為 0；若依賴角度，極限不存在。 |
如果在一個含 $(x_0,y_0)$ 的開區域 $R$ 中，當 $(x,y)$ 趨近 $(x_0,y_0)$ 時恆有 $$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$$ 則稱 $f$ 在點 $(x_0,y_0)$ 是連續的；若 $f$ 在 $R$ 中每一點都連續，則稱 $f$ 在 $R$ 上連續。
若 $k$ 是實數，$f$ 和 $g$ 在 $(x_0,y_0)$ 連續，則下列函數在 $(x_0,y_0)$ 連續：
若 $h$ 在 $(x_0,y_0)$ 連續、$g$ 在 $h(x_0,y_0)$ 連續，則合成函數 $(g \circ h)(x,y) = g(h(x,y))$ 也在 $(x_0,y_0)$ 連續。亦即 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(h(x,y)) = g(h(x_0,y_0))$。
使用定理 13.1（連續函數商法則） $\displaystyle f(x,y)=\dfrac{x-2y}{x^2+y^2}$ 是多項式的商。只要分母 $x^2+y^2\ne0$，分子與分母皆連續，且商仍連續；但在 $(0,0)$ 分母為 0，函數無定義，因此不可能在 $(0,0)$ 連續。
使用連續性定義 $g(x,y)=\sqrt{y-x^2}$ 的 定義域是 $y-x^2\ge0$。在邊界 $y=x^2$ 上，任意開圓盤都含有 domain 外的點，因此它不能在「包含該邊界點的開區域」上被視為連續函數；只能說它在自己的定義域 內以相對意義連續。
切換連續函數與不連續函數，注意第二個 $f = xy/(x^2+y^2)$（在原點補定義為 0）的曲面在原點附近無法銜接成一片—不同路徑趨近原點得到不同高度。
若 $f$ 在含 $(x_0,y_0,z_0)$ 的開區域上有定義，並且 $$\lim_{(x,y,z)\to(x_0,y_0,z_0)} f(x,y,z) = f(x_0,y_0,z_0)$$ 則稱 $f$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 連續。
結構上與兩變數版本完全一致，只是把圓盤換成球：$\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} < \delta$。檢驗極限是否存在時，路徑可以是三維中的任意連續曲線，常用代換見上表後三列。
單變數導數 $f'(x)$ 一個值就描述了「斜率」。兩變數函數有兩個獨立的方向（$x$、$y$），所以需要兩個導數：分別固定一個變數、對另一個變數求導。這就是偏導函數 (partial derivative)。幾何上，它們是曲面與軸平面的截痕在切點的斜率。
如果 $z = f(x,y)$ 是兩變數函數，則 $f$ 對 $x$ 和 $y$ 的第一階偏導數 $f_x$ 和 $f_y$ 的定義分別是
（如果極限存在的話）
單變數導數的定義是比較 $x$ 從 $a$ 變到 $a+h$ 時，函數值的平均變化率，再令 $h\to0$。偏導數只是把同一個定義原封不動搬到曲面的一條切片上：
請盯著第二個位置：分子的兩項裡，$y$ 都是 $b$，從頭到尾沒有動過。這就是「把 $y$ 當成常數」的數學意義；它不是約定俗成的計算口訣，而是極限定義已經寫死的限制。
若固定 $y=b$ 並定義輔助函數 $g(x):=f(x,b)$，那麼
所以在實務計算中，對 $x$ 偏導時可以像單變數微分一樣處理 $x$，同時把 $y$ 看成固定數值。反過來求 $f_y(a,b)$ 時，就是固定 $x=a$，只讓第二個位置的 $y$ 變動。
例題 1(a) 對 $f(x,y)=3x-x^2y^2+2x^3y$，求 $f_x$ 時把 $y$ 當常數；求 $f_y$ 時把 $x$ 當常數： $$f_x=3-2xy^2+6x^2y,\qquad f_y=-2x^2y+2x^3.$$
例題 1(b) 對 $f(x,y)=(\ln x)(\sin x^2y)$： $$f_x=\frac{1}{x}\sin(x^2y)+2xy\ln x\cos(x^2y),\qquad f_y=x^2\ln x\cos(x^2y).$$
例題 2 對 $f(x,y)=xe^{x^2y}$： $$f_x=e^{x^2y}(1+2x^2y),\qquad f_y=x^3e^{x^2y}.$$ 在 $(1,\ln2)$，$e^{x^2y}=2$，所以 $f_x(1,\ln2)=2+4\ln2,\ f_y(1,\ln2)=2$。
把曲面 $z=f(x,y)$ 用兩個垂直平面切開：
| 對 x 偏導 | 對 y 偏導 | 常見場合 |
|---|---|---|
| $f_x(x,y)$ | $f_y(x,y)$ | 講義主流 |
| $z_x$ | $z_y$ | 下標形式（簡潔） |
| $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ | $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ | 萊布尼茲記法 |
| $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ | $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ | 用因變數名 |
| $D_x f$ | $D_y f$ | 算子記法 |
在點 $(a,b)$ 取值：$\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(a,b)} = f_x(a,b)$。
使用偏導的幾何意義 $f_x(x_0,y_0)$ 是固定 $y=y_0$ 時的 $x$ 方向截痕斜率，$f_y(x_0,y_0)$ 是固定 $x=x_0$ 時的 $y$ 方向截痕斜率。講義例題函數為 $$f(x,y)=-\dfrac{x^2}{2}-y^2+\dfrac{25}{8},$$ 因此 $f_x=-x,\ f_y=-2y$。
三變數函數 $w = f(x, y, z)$ 共有三個第一階偏導：
計算規則和兩變數一致：對哪一個變數偏導，就把其他變數視為常數。
下面以 $f(x,y,z) = x^2 y + y z^3 + x z$ 為例。點擊 x、y、z 看「對應變數視為主角，其餘視為常數」的偏導結果。
使用偏導計算規則 對哪一個變數偏導，就把其他變數全部視為常數。講義例題包含三種形式：
對一般的 $n$ 變數函數 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，第 $i$ 個第一階偏導為
共有 $n$ 個，把它們排成一個向量就是梯度向量 $\nabla f = (f_{x_1}, \dots, f_{x_n})$（後續第 13.6 節主題）。
對偏導函數再一次偏導，得到二階偏導。兩變數函數有 4 個二階偏導：
$f_{xy}$ 與 $f_{yx}$ 稱為混合偏導。下標讀作「先對左、再對右」（例如 $f_{xy}$ = 先對 $x$、再對 $y$）。注意萊布尼茲記號的順序是反過來的：$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}$。
如果 $f$ 是 $x, y$ 的函數，且 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在某個開圓盤 $R$ 上各自連續，則在 $R$ 上每一點 $(x,y)$ 都有 $$f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y)$$
選擇函數，下方表格即時計算 4 個二階偏導在 $(x_0, y_0)$ 的數值。若 $f_{xy}, f_{yx}$ 在附近連續，紅綠值應相同。
經典反例 $f(x,y) = \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$（補定義 $f(0,0)=0$）：
這提醒：定理的條件不只是「擺在那邊好看」— 它真的會在邊緣失效。試試切換到「反例」預設並把 $(x_0, y_0)$ 移近原點 — 4 個偏導值會劇烈跳動。
使用二階偏導定義 $f_{xy}$ 表示先對 $x$ 偏導，再對 $y$ 偏導。對 $f(x,y)=3xy^2-2y+5x^2y^2$，先得 $$f_x=3y^2+10xy^2,$$ 再對 $y$ 偏導： $$f_{xy}=6y+20xy.$$ 所以 $f_{xy}(-1,2)=12-40=-28$。
使用混合偏導相等定理 對 $f(x,y,z)=ye^x+x\ln z$，在 $z>0$ 的區域內各相關偏導連續，因此可交換微分順序： $$f_{xz}=f_{zx}=1/z,\qquad f_{xzz}=f_{zxz}=f_{zzx}=-1/z^2.$$
單變數的微分 $dy = f'(x)\,dx$ 給出曲線的「線性近似」（切線）。兩變數版本是切平面：給定一點 $(x_0, y_0)$，曲面在該點附近最像「斜的平面」，斜率向量是 $(f_x, f_y)$。本節討論這個「最佳線性近似」的數學表達 — 全微分以及何時能用（可微分性）。
如果 $z = f(x,y)$ 並且 $\Delta x, \Delta y$ 是 $x, y$ 的增量，則自變數 $x, y$ 的微分是 $$dx = \Delta x,\quad dy = \Delta y$$ 函數 $z$ 的全微分 $dz$ 定義如下： $$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy = f_x(x,y)\,dx + f_y(x,y)\,dy$$
使用 定義 13.6（全微分公式） 先求偏導，再套 $$dz=f_x\,dx+f_y\,dy.$$ 對 $z=2x\sin y-3x^2y^2$， $$z_x=2\sin y-6xy^2,\qquad z_y=2x\cos y-6x^2y,$$ 因此 $$dz=(2\sin y-6xy^2)\,dx+(2x\cos y-6x^2y)\,dy.$$
三變數同理 對 $w=x^2+y^2+z^2$，全微分公式推廣為 $$dw=w_x\,dx+w_y\,dy+w_z\,dz.$$ 由 $w_x=2x,\ w_y=2y,\ w_z=2z$ 得 $$dw=2x\,dx+2y\,dy+2z\,dz.$$
下方互動展示「全微分 $dz$ 與真實增量 $\Delta z$ 的差距」。在點 $P = (x_0, y_0, f(x_0,y_0))$ 處長出半透明金黃切平面。當 $(dx, dy)$ 不為 0 時：
如果函數 $z = f(x,y)$ 在點 $(x_0, y_0)$ 相應於 $\Delta x, \Delta y$ 兩個增量所得的增量可以表成 $$\Delta z = f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y + \varepsilon_1 \Delta x + \varepsilon_2 \Delta y$$ 其中 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 當 $(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)$ 時同時趨於 0，函數 $f(x,y)$ 就稱為在 $(x_0, y_0)$ 可微。如果 $f$ 在區域 $R$ 上每點都可微，則稱 $f$ 在 $R$ 上可微。
單變數類比：先把單變數可微重新解讀。 平常我們說 $f'(x_0)$ 存在，就是 $$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$ 若記 $L=f'(x_0)$，這個極限可以重新寫成 $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=L+\varepsilon(\Delta x),\qquad \varepsilon(\Delta x)\to0.$$ 兩邊乘回 $\Delta x$，得到 $$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+\varepsilon(\Delta x)\Delta x.$$ 所以單變數可微的真正意思是：函數的變化量等於「切線給的線性變化」加上一個比 $\Delta x$ 更小階的誤差。
到兩變數時，不能再用商的極限偷省步驟。 因為輸入增量變成向量 $(\Delta x,\Delta y)$，你不能除以一個向量。因此可微的定義必須回到原本的幾何意義：存在一個線性函數 $$L(\Delta x,\Delta y)=A\Delta x+B\Delta y$$ 可以描述 $z$ 的主要變化，而且剩下的誤差相對於距離要更小。
對曲面 $z=f(x,y)$，這個線性函數自然就是切平面近似 $$dz=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y.$$ 更乾淨地說，可微等價於 $$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta z-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y} {\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0.$$ 分母是水平移動距離；極限為 $0$ 表示切平面的誤差比這個距離還小，切平面才是真的「貼住」曲面。
教科書的寫法 $$\Delta z=f_x\Delta x+f_y\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y,\qquad \varepsilon_1,\varepsilon_2\to0$$ 就是在用代數形式表達同一件事：誤差項是更高階小量。因此可微不是只要求偏導存在。偏導只檢查 $x$ 軸、$y$ 軸兩個方向；可微要求所有靠近 $(x_0,y_0)$ 的方向都能被同一個線性式共同控制。
假設 $f$ 是 $x, y$ 的函數。若 $f_x$ 和 $f_y$ 在開區域 $R$ 上連續，則 $f$ 在 $R$ 上可微。
如果一個 $x, y$ 函數 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 可微，則 $f$ 必在 $(x_0, y_0)$ 連續。
使用 定義 13.7（可微定義） 要把 $\Delta z$ 寫成 $$\Delta z=f_x\Delta x+f_y\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y,$$ 且 $\varepsilon_1,\varepsilon_2\to0$。令 $z=f(x,y)=x^2+3y$，則 $$\Delta z=2x\Delta x+(\Delta x)^2+3\Delta y =f_x\Delta x+f_y\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y,$$ 其中 $f_x=2x,\ f_y=3,\ \varepsilon_1=\Delta x,\ \varepsilon_2=0$。當 $(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)$，有 $\varepsilon_1=\Delta x\to0$ 且 $\varepsilon_2=0\to0$，所以 $f$ 在任意 $(x,y)$ 可微，也就是在 $\mathbb{R}^2$ 上處處可微。