12.1 向量值函數
把實數送進「向量輸出」的函數
過去你看過的函數 $y=f(x)$ 把一個實數送到另一個實數。向量值函數改變輸出端：給定一個實數 $t$，吐出一個向量。這個小小的概念轉變讓我們可以用「位置向量隨時間變化」的觀點，自然地描述空間中的曲線。
實值函數（你熟悉的）
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
$t \mapsto f(t)$
$f(t)$、$g(t)$、$h(t)$ 都是這類
向量值函數（本章的主角）
$\mathbf{r}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$
$t \mapsto \mathbf{r}(t)$
$\mathbf{r}(t)$ 對每個 $t$ 是一個向量
定義 12.1
向量值函數的標準形式
$\mathbf{r}(t) = f(t)\,\mathbf{i} + g(t)\,\mathbf{j}$ (平面)
$\mathbf{r}(t) = f(t)\,\mathbf{i} + g(t)\,\mathbf{j} + h(t)\,\mathbf{k}$ (空間)
其中 $f$、$g$、$h$ 稱為
分量函數，都是參數 $t$ 的實值函數。也常寫成 $\mathbf{r}(t)=\langle f(t),g(t)\rangle$ 或 $\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$。
位置向量的觀點：曲線是「終點的軌跡」
把 $\mathbf{r}(t)$ 解讀為從原點出發的位置向量，當 $t$ 連續變動時，向量的終點就掃出一條曲線 $C$。下方畫布即是這個過程：黃色箭頭是當下的位置向量 $\mathbf{r}(t)$、橘色軌跡是已經掃過的點，箭頭沿曲線的方向就是 $t$ 增加的方向。
展示用曲線
$\mathbf{r}(t) = 2\cos t\,\mathbf{i} + 2\sin t\,\mathbf{j} + \tfrac{t}{2}\mathbf{k}$
$0 \leq t \leq 4\pi$ ｜ 螺旋上升
當下位置向量
$f(t) = 2\cos t$2.00
$g(t) = 2\sin t$0.00
$h(t) = t/2$0.00
關鍵
$\mathbf{r}(t)$ 是向量；$f(t)$、$g(t)$、$h(t)$ 是實數。差別不要混淆——這是後續所有定義的基礎。
定義域：分量定義域的交集
除非另有說明，向量值函數 $\mathbf{r}$ 的定義域定義為三個分量函數定義域的交集。例如
$$\mathbf{r}(t) = \ln t\,\mathbf{i} + \sqrt{1-t}\,\mathbf{j} + t\,\mathbf{k}$$
$\ln t$ 要求 $t > 0$；$\sqrt{1-t}$ 要求 $t \leq 1$；$t$ 對所有實數都有定義。三者交集即 $(0, 1]$。
概念檢查
求 $\mathbf{r}(t)=\ln t\,\mathbf{i}+\sqrt{1-t}\,\mathbf{j}+|t|\,\mathbf{k}$ 的定義域。
12.1 內小段 · 平面曲線
平面曲線：兩個分量、一個 $t$
下方畫布專門顯示 xy 平面。選擇預設、拖動 $t$ 滑桿，觀察點如何沿曲線移動，以及位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 如何旋轉。注意箭頭方向：它指向 $t$ 增加的方向，這就是曲線的方向。
講義例題 1：畫出向量值函數 $\mathbf r(t)=2\cos t\,\mathbf i-3\sin t\,\mathbf j,\ 0\le t\le 2\pi$ 所表示的平面曲線。講義例題 3：用向量值函數表示拋物線 $y=x^2+1$。
例 1 · 橢圓 (順時針)
$\mathbf{r}(t) = 2\cos t\,\mathbf{i} - 3\sin t\,\mathbf{j}$
$0 \leq t \leq 2\pi$
當下值
$x = f(t)$2.00
$y = g(t)$0.00
教學重點
為何「順時針」？$y$-分量是 $-3\sin t$（前面有負號）。$t=0$ 時點在 $(2,0)$；$t$ 略增則 $y$ 略負，所以點往下走 → 順時針。
重點 · 講義 p.6
兩個不同的曲線可以有相同的圖形
最後兩個預設值得仔細比較。它們的圖形（畫出來的點集合）都是單位圓 $x^2+y^2=1$，但它們是兩條不同的曲線：
| 預設 |
參數方程 |
$t$ 範圍 |
速率 $\|\mathbf{r}'(t)\|$ |
circ1 |
$\mathbf{r}_1(t) = \sin t\,\mathbf{i} + \cos t\,\mathbf{j}$ |
$0 \le t \le 2\pi$ |
$\|\mathbf{r}_1'\| = 1$（等速） |
circ2 |
$\mathbf{r}_2(t) = \sin(t^2)\,\mathbf{i} + \cos(t^2)\,\mathbf{j}$ |
$0 \le t \le \sqrt{2\pi}$ |
$\|\mathbf{r}_2'\| = 2t$（越走越快） |
關鍵差異：對 $\mathbf{r}_1$ 來說，$t$ 就是（沿圓走的）弧長／角度本身——固定速率 1 繞圓。但 $\mathbf{r}_2$ 把 $t^2$ 當作角度，當 $t$ 從 $1$ 走到 $1.5$，角度從 $1$ 跳到 $2.25$；當 $t$ 從 $2$ 走到 $2.5$，角度從 $4$ 跳到 $6.25$——同樣的 $\Delta t$ 帶來越來越大的角度變化，所以動畫裡的點越往後走越快。
結論：「曲線」=「點的集合」+「參數化方式」。$\mathbf{r}_1$ 與 $\mathbf{r}_2$ 通過的點完全相同（單位圓），但走法不同，速度律不同，因此是兩條不同的曲線。同時也說明：給定一條曲線，同一個圖形可以對應到無窮多個參數化。
12.1 內小段 · 空間曲線
空間曲線：再加一個 $z$ 分量
把第三個分量 $h(t)$ 補上，曲線就「離開平面」了。最經典的例子是螺旋線：xy-平面上做圓周運動的同時 $z$ 等速上升。它的投影在 z 軸方向上的圓柱面 $x^2+y^2=16$ 上。
講義例題 2：畫出 $\mathbf r(t)=4\cos t\,\mathbf i+4\sin t\,\mathbf j+t\,\mathbf k,\ 0\le t\le 4\pi$ 所表示的空間曲線。
xyz
r(t)
t
例 2 · 螺旋線
$\mathbf{r}(t) = 4\cos t\,\mathbf{i} + 4\sin t\,\mathbf{j} + t\,\mathbf{k}$
$0 \leq t \leq 4\pi$ ｜ 兩圈
當下位置
$x$4.00
$y$0.00
$z$0.00
為何在圓柱面上？
$x^2+y^2 = 16\cos^2 t + 16\sin^2 t = 16$。
無論 $t$ 為何，到 z 軸 的距離恆為 $4$，所以螺旋線整條都躺在圓柱 $x^2+y^2=16$ 上。
12.1 內小段 · 例題 4 · 兩曲面交線
把曲線寫成「兩個面交出來的軌跡」
講義例題 4：畫出半橢球面 $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{24}+\dfrac{z^2}{4}=1,\ z\ge0$ 與拋物柱面 $y=x^2$ 的交線 $C$，並求表示此交線的向量值函數。
$$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{24} + \frac{z^2}{4} = 1,\ \ z\geq 0 \quad \text{與} \quad y = x^2$$
解題思路（逐步）
步驟 1 · 取自然參數
令 $x = t$。代入拋物柱面：$y = t^2$。
步驟 2 · 代入半橢球面解 $z$
$\dfrac{t^2}{12} + \dfrac{t^4}{24} + \dfrac{z^2}{4} = 1 \;\Longrightarrow\; z^2 = 4 - \dfrac{t^2}{3} - \dfrac{t^4}{6} = \dfrac{24 - 2t^2 - t^4}{6}$。
$24 - 2t^2 - t^4 = -(t^4 + 2t^2 - 24) = -(t^2+6)(t^2-4) = (t^2+6)(4-t^2)$。
步驟 3 · 取 $z\ge 0$ 的支
$z = \sqrt{\dfrac{(6+t^2)(4-t^2)}{6}}$。要 $z$ 為實數，必須 $4 - t^2 \ge 0$，即
$-2 \le t \le 2$。
步驟 4 · 寫成向量值函數
$\mathbf{r}(t) = t\,\mathbf{i} + t^2\,\mathbf{j} + \sqrt{\dfrac{(6+t^2)(4-t^2)}{6}}\,\mathbf{k}, \quad -2 \le t \le 2$。
xyz
t
曲線 C
$\mathbf{r}(t) = t\,\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + \sqrt{\tfrac{(6+t^2)(4-t^2)}{6}}\,\mathbf{k}$
$-2 \le t \le 2$
當下點 $\mathbf{r}(t)$
$x = t$-2.00
$y = t^2$4.00
$z$0.00
三個關鍵點
$t = -2$：$(-2, 4, 0)$
$t = 0$：$(0, 0, 2)$ (最高點)
$t = 2$：$(2, 4, 0)$
12.1 內小段 · 極限與連續
極限與連續：分量做就行
定義 12.2
向量值函數的極限
對 $\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$（空間情形），
$$\lim_{t\to a}\mathbf{r}(t) = \Big[\lim_{t\to a}f(t)\Big]\mathbf{i} + \Big[\lim_{t\to a}g(t)\Big]\mathbf{j} + \Big[\lim_{t\to a}h(t)\Big]\mathbf{k}$$
前提是三個分量函數的極限都存在。平面情形類似（去掉 $h$）。
定義 12.3
連續性
$\mathbf{r}$ 在 $t = a$ 連續，定義為 $\displaystyle\lim_{t\to a}\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$。
等價條件：每個分量函數在 $t = a$ 都連續。
例題 5（連續）
$\mathbf{r}(t) = t\,\mathbf{i} + a\,\mathbf{j} + (a^2 - t^2)\,\mathbf{k}$（$a$ 為常數），在 $t = 0$ 是否連續？
解題
三個分量 $t$、$a$（常數）、$a^2 - t^2$ 全是
多項式，在所有實數都連續。所以 $\mathbf{r}$ 在 $t=0$ 連續，且 $\displaystyle\lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t) = a\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = \mathbf{r}(0)$。
例題 6（決定連續區間）
$\mathbf{r}(t) = t\,\mathbf{i} + \sqrt{t+1}\,\mathbf{j} + (t^2+1)\,\mathbf{k}$ 在哪些區間連續？
解題
$f(t) = t$：對所有實數連續。
$g(t) = \sqrt{t+1}$：要求 $t + 1 \ge 0$，定義域 $[-1, \infty)$；在這上面連續。
$h(t) = t^2 + 1$：對所有實數連續。
交集：
$\mathbf{r}$ 在 $[-1, \infty)$ 上連續。
概念檢查
求 $\displaystyle\lim_{t\to 0}\Big(\dfrac{\sin t}{t}\,\mathbf{i}+(t^2+1)\,\mathbf{j}+\dfrac{t}{t+2}\,\mathbf{k}\Big)$。
12.2 向量值函數的微分與積分
導數：分量逐一微分
定義 12.4
向量值函數的導數
$$\mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t}$$
只要這個極限存在，$\mathbf{r}$ 就在 $t$ 處可微。注意分子是向量差，分母是純量，結果是向量。
定理 12.1
分量逐一微分
$\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k} \;\Longrightarrow\; \mathbf{r}'(t) = f'(t)\mathbf{i} + g'(t)\mathbf{j} + h'(t)\mathbf{k}$
要求 $f$、$g$、$h$ 都可微。
把向量值微分轉化為三個一元微分問題。
幾何意義：$\mathbf{r}'(t)$ 是切向量
講義例題 1：對 $\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+(t^2+2)\,\mathbf{j}$，求 $\mathbf r'(t)$；再畫出 $\mathbf r(t)$ 所表示的平面曲線，以及 $\mathbf r(1)$ 與 $\mathbf r'(1)$。
下方畫布把這題視覺化。導數 $\mathbf{r}'(t) = \mathbf{i} + 2t\,\mathbf{j}$；綠色箭頭從點 $\mathbf{r}(t)$ 出發，方向是沿曲線、$t$ 增加的方向，這就是切向量。
割線 → 切線
割線向量 $\dfrac{\mathbf{r}(t+\Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t}$ 隨 $\Delta t \to 0$ 收斂到切向量 $\mathbf{r}'(t)$。
下方畫布預設同時顯示綠色切線與橘色割線——把 $\Delta t$ 滑桿往左拉到 0.05，觀察橘線旋轉並逐漸與綠線重合。
xy
切線 r'(t)割線 (Δt)
例 1 · 微分
$\mathbf{r}(t) = t\,\mathbf{i} + (t^2{+}2)\,\mathbf{j}$
$\mathbf{r}'(t) = \mathbf{i} + 2t\,\mathbf{j}$
當下值
$\mathbf{r}(t)$(1.00, 3.00)
切線 $\mathbf{r}'(t)$(1.00, 2.00)
$\|\mathbf{r}'(t)\|$2.236
割線斜率向量(1.00, 2.80)
與切線差距0.800
如何閱讀此圖
綠色虛線是切線（$\mathbf{r}'(t)$ 方向）；橘色虛線是割線（$\mathbf{r}(t)$ 與 $\mathbf{r}(t+\Delta t)$ 連線方向）。把 $\Delta t$ 滑桿往左拉：橘線會旋轉並逐漸與綠線重合——這就是「割線 → 切線」的極限過程。
從定義導出分量逐一微分（兩維情形）
推導
$$\begin{aligned}
\mathbf{r}'(t) &= \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t}\\
&= \lim_{\Delta t\to 0}\frac{[f(t+\Delta t) - f(t)]\,\mathbf{i} + [g(t+\Delta t) - g(t)]\,\mathbf{j}}{\Delta t}\\
&= \Big[\lim_{\Delta t\to 0}\tfrac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}\Big]\mathbf{i} + \Big[\lim_{\Delta t\to 0}\tfrac{g(t+\Delta t)-g(t)}{\Delta t}\Big]\mathbf{j}\\
&= f'(t)\,\mathbf{i} + g'(t)\,\mathbf{j}
\end{aligned}$$
最後一步用到「向量極限可拆給每個分量」（定義 12.2）。
概念檢查
對 $\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+(t^2+2)\,\mathbf{j}$（拋物線），$\mathbf{r}'(1)$ 的幾何意義是？
12.2 內小段 · 高階導數
$\mathbf{r}'$、$\mathbf{r}''$ 與向量運算
講義例題 2：對 $\mathbf{r}(t) = \cos t\,\mathbf{i} + \sin t\,\mathbf{j} + 2t\,\mathbf{k}$，求各階導數及 $\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}''$、$\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''$。
a · 一階導數
$\mathbf{r}'(t) = -\sin t\,\mathbf{i} + \cos t\,\mathbf{j} + 2\,\mathbf{k}$
b · 二階導數
$\mathbf{r}''(t) = -\cos t\,\mathbf{i} - \sin t\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k}$
注意：$\mathbf{r}''$ 沒有 $\mathbf{k}$ 分量，因為 $2t$ 二次微分後消失。
c · 點積 $\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}''$
$(-\sin t)(-\cos t) + (\cos t)(-\sin t) + (2)(0) = \sin t\cos t - \sin t\cos t = \boldsymbol{0}$
結論：$\mathbf{r}'\perp\mathbf{r}''$ 對
所有 $t$ 都成立——這在這個曲線上是個美麗的特性。
d · 叉積 $\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''$
$\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-\sin t&\cos t&2\\-\cos t&-\sin t&0\end{vmatrix} = 2\sin t\,\mathbf{i} - 2\cos t\,\mathbf{j} + (\sin^2 t + \cos^2 t)\,\mathbf{k}$
$\;=\; 2\sin t\,\mathbf{i} - 2\cos t\,\mathbf{j} + \mathbf{k}$
xyz
r'(t)r''(t)
t
例 2 · 高階導數
$\mathbf{r}(t) = \cos t\,\mathbf{i} + \sin t\,\mathbf{j} + 2t\,\mathbf{k}$
當下值
$\mathbf{r}(t)$(1.00, 0.00, 0.00)
$\mathbf{r}'(t)$(0.00, 1.00, 2.00)
$\mathbf{r}''(t)$(-1.00, 0.00, 0.00)
點積 vs 叉積（即時）
$\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}''$0.000
$\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''$(0,-2,1)
點積恆為 0：$\mathbf{r}'\perp\mathbf{r}''$。
定義 · 平滑
平滑曲線：在開區間 $I$ 上，$f', g', h'$ 連續，且 $\mathbf{r}'(t)\ne\mathbf{0}$ 對所有 $t\in I$ 成立。
要求 $\mathbf{r}'\ne\mathbf{0}$ 是為了讓切向量始終有方向——若 $\mathbf{r}'=\mathbf{0}$，曲線可能在該點出現尖點。
12.2 內小段 · 導數的七條性質
定理 12.2：和、積、點積、叉積、合成
令 $\mathbf{r}, \mathbf{u}$ 為 $t$ 的可微向量值函數，$w$ 為可微的純量函數，$c$ 為常數。下列性質都可由分量逐一微分驗證。
- $D_t[c\,\mathbf{r}(t)] = c\,\mathbf{r}'(t)$
- $D_t[\mathbf{r}(t) \pm \mathbf{u}(t)] = \mathbf{r}'(t) \pm \mathbf{u}'(t)$
- $D_t[w(t)\,\mathbf{r}(t)] = w(t)\,\mathbf{r}'(t) + w'(t)\,\mathbf{r}(t)$ （純量乘向量的乘積律）
- $D_t[\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{u}(t)] = \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{u}'(t) + \mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{u}(t)$ （點積乘積律）
- $D_t[\mathbf{r}(t)\times\mathbf{u}(t)] = \mathbf{r}(t)\times\mathbf{u}'(t) + \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{u}(t)$ （叉積乘積律，順序不可交換）
- $D_t\big[\mathbf{r}(w(t))\big] = \mathbf{r}'(w(t))\,w'(t)$ （鏈鎖律）
- 若 $\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t) = c$（即 $\|\mathbf{r}(t)\|^2$ 為常數），則 $\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) = 0$。
為何性質 7 重要？
若一個運動的位置向量長度固定，例如沿著以原點為中心的球面或圓周運動，則速度向量 $\mathbf{r}'(t)$ 恆與位置向量 $\mathbf{r}(t)$ 垂直。圓周運動的「向心結構」就是這條性質的直接結果。
證明草圖：對 $\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}=c$ 兩邊微分（用性質 4），$\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}' + \mathbf{r}'\cdot\mathbf{r} = 0$，即 $2\,\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}' = 0$。
例題 4（性質 4 的應用）
$\mathbf{r}(t) = \dfrac{1}{t}\mathbf{i} - \mathbf{j} + \ln t\,\mathbf{k}$，$\mathbf{u}(t) = t^2\mathbf{i} - 2t\,\mathbf{j} + \mathbf{k}$，求 (a) $D_t[\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}]$、(b) $D_t[\mathbf{u}\times\mathbf{u}']$。
(a) 用性質 4
$\mathbf{r}'(t) = -\dfrac{1}{t^2}\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + \dfrac{1}{t}\mathbf{k}$，$\mathbf{u}'(t) = 2t\,\mathbf{i} - 2\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k}$。
$\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}' = \dfrac{1}{t}(2t) + (-1)(-2) + 0 = 2 + 2 = 4$
$\mathbf{r}'\cdot\mathbf{u} = \big(-\dfrac{1}{t^2}\big)t^2 + 0\cdot(-2t) + \dfrac{1}{t}\cdot 1 = -1 + \dfrac{1}{t}$
所以 $D_t[\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}] = 4 + \big(-1 + \dfrac{1}{t}\big) = 3 + \dfrac{1}{t}$。
(b) 用性質 5
$D_t[\mathbf{u}\times\mathbf{u}'] = \mathbf{u}\times\mathbf{u}'' + \mathbf{u}'\times\mathbf{u}'$。
任何向量與自己的叉積為零：$\mathbf{u}'\times\mathbf{u}' = \mathbf{0}$。剩 $\mathbf{u}\times\mathbf{u}''$。
$\mathbf{u}''(t) = 2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = 2\mathbf{i}$。
$\mathbf{u}\times\mathbf{u}'' = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\t^2&-2t&1\\2&0&0\end{vmatrix} = (0-0)\mathbf{i} - (0-2)\mathbf{j} + (0+4t)\mathbf{k} = 2\mathbf{j} + 4t\,\mathbf{k}$。
概念檢查（性質 7）
$\mathbf{r}(t)=3\cos t\,\mathbf{i}+3\sin t\,\mathbf{j}$（圓周運動，$\|\mathbf{r}\|=3$）。對任意 $t$，$\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=$？
12.2 內小段 · 積分
積分：再次「分量逐一處理」
定義 12.5
向量值函數的不定 / 定積分
對 $\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$（$f, g, h$ 在 $[a,b]$ 連續）：
$$\int \mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t = \Big[\int f(t)\,\mathrm{d}t\Big]\mathbf{i} + \Big[\int g(t)\,\mathrm{d}t\Big]\mathbf{j} + \Big[\int h(t)\,\mathrm{d}t\Big]\mathbf{k}$$
$$\int_a^b \mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t = \Big[\int_a^b f\Big]\mathbf{i} + \Big[\int_a^b g\Big]\mathbf{j} + \Big[\int_a^b h\Big]\mathbf{k}$$
向量常數 C
三個分量的積分常數 $C_1, C_2, C_3$ 合併成一個向量常數 $\mathbf{C} = C_1\mathbf{i} + C_2\mathbf{j} + C_3\mathbf{k}$：
$$\int \mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t = \mathbf{R}(t) + \mathbf{C}, \quad \mathbf{R}'(t) = \mathbf{r}(t)$$
所以一個向量值函數的反導數，是一族向量值函數，全部相差一個固定向量。
例題 5（不定積分）
題目
求 $\displaystyle\int (t\,\mathbf{i} + 3\,\mathbf{j})\,\mathrm{d}t$。
解題
$\displaystyle\int t\,\mathrm{d}t = \tfrac{t^2}{2} + C_1, \quad \int 3\,\mathrm{d}t = 3t + C_2$。
$\displaystyle\int (t\,\mathbf{i}+3\mathbf{j})\,\mathrm{d}t = \big(\tfrac{t^2}{2} + C_1\big)\mathbf{i} + (3t + C_2)\mathbf{j} = \tfrac{t^2}{2}\mathbf{i} + 3t\,\mathbf{j} + \mathbf{C}$
下方畫布顯示這族反導數曲線。固定 $\mathbf{C}$ 的某個選擇，曲線的形狀（拋物線狀）就確定了；改變 $\mathbf{C}$，整族曲線一起平移。
例 5 · 反導數族
$\mathbf{R}(t) = \tfrac{t^2}{2}\mathbf{i} + 3t\,\mathbf{j} + \mathbf{C}$
$\mathbf{C} = 0\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j}$
幾何觀察
選擇不同 $\mathbf{C}$ 對應到把同一條拋物線狀曲線在 $xy$ 平面上平移到不同位置。所有反導數的「形狀」是一致的。
例題 6（定積分）
計算 $\displaystyle\int_0^1 \mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t$，其中 $\mathbf{r}(t) = \sqrt[3]{t}\,\mathbf{i} + \dfrac{1}{t+1}\mathbf{j} + e^{-t}\mathbf{k}$。
分量逐一積分
$\displaystyle\int_0^1 t^{1/3}\,\mathrm{d}t = \Big[\tfrac{3}{4}t^{4/3}\Big]_0^1 = \tfrac{3}{4}$
$\displaystyle\int_0^1 \tfrac{1}{t+1}\,\mathrm{d}t = \big[\ln(t+1)\big]_0^1 = \ln 2$
$\displaystyle\int_0^1 e^{-t}\,\mathrm{d}t = \big[-e^{-t}\big]_0^1 = 1 - \tfrac{1}{e}$
合成向量
$\displaystyle\int_0^1 \mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t = \tfrac{3}{4}\mathbf{i} + \ln 2\,\mathbf{j} + \Big(1 - \tfrac{1}{e}\Big)\mathbf{k} \approx 0.75\,\mathbf{i} + 0.693\,\mathbf{j} + 0.632\,\mathbf{k}$
速查 · 速查表
章節重點與公式總覽
01 三大基本定義
$\mathbf{r}(t) = f(t)\,\mathbf{i} + g(t)\,\mathbf{j} \;[+\;h(t)\,\mathbf{k}]$
定義域 = 各分量定義域的交集。
$\displaystyle\lim_{t\to a}\mathbf{r}(t) = \big[\lim f\big]\mathbf{i} + \big[\lim g\big]\mathbf{j} + \big[\lim h\big]\mathbf{k}$
每個分量的極限存在 ⇒ 向量值極限存在。
$\displaystyle\lim_{t\to a}\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$
⇔ 每個分量在 $t = a$ 連續。
02 微分與積分
$\displaystyle\mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t}$
分子是向量差、分母是純量。
$\mathbf{r}'(t) = f'(t)\mathbf{i} + g'(t)\mathbf{j} + h'(t)\mathbf{k}$
向量值微分 ↦ 三個一元微分問題。
$\displaystyle\int\mathbf{r}\,\mathrm{d}t = \big[\int f\big]\mathbf{i} + \big[\int g\big]\mathbf{j} + \big[\int h\big]\mathbf{k}$
三個積分常數合成一個向量常數 $\mathbf{C}$。
$f', g', h'$ 連續 且 $\mathbf{r}'(t)\ne\mathbf{0}$
$\mathbf{r}'\ne\mathbf{0}$ 保證切向量始終有方向，避免尖點。
03 導數的七條性質（定理 12.2）
| 規則 | 公式 |
|---|
| 純量倍 | $D_t[c\,\mathbf{r}] = c\,\mathbf{r}'$ |
| 和差 | $D_t[\mathbf{r} \pm \mathbf{u}] = \mathbf{r}' \pm \mathbf{u}'$ |
| 純量×向量 | $D_t[w\mathbf{r}] = w\mathbf{r}' + w'\mathbf{r}$ |
| 點積 | $D_t[\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}] = \mathbf{r}\cdot\mathbf{u}' + \mathbf{r}'\cdot\mathbf{u}$ |
| 叉積 | $D_t[\mathbf{r}\times\mathbf{u}] = \mathbf{r}\times\mathbf{u}' + \mathbf{r}'\times\mathbf{u}$ |
| 鏈鎖律 | $D_t[\mathbf{r}(w(t))] = \mathbf{r}'(w(t))\,w'(t)$ |
| 定長條件 | $\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}=c \Longrightarrow \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'=0$ |
叉積規則裡順序不可交換——必須是 $\mathbf{r}\times\mathbf{u}' + \mathbf{r}'\times\mathbf{u}$（不是 $+\mathbf{u}\times\mathbf{r}'$）。