過去用一個參數表示曲線 $\mathbf{r}(t)$；現在要用兩個參數 $(u,v)$ 描述「一張面」。一條繩子有一個自由度、走過一條曲線；一張布有兩個自由度、覆蓋一個曲面。這節要把曲面用向量值函數 $\mathbf{r}(u,v)$ 寫出來，計算其切平面、法向量與表面面積。
設 $x,\,y,\,z$ 都是兩變數函數 $x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)$，在 $uv$-平面中的某個區域 $D$ 上連續。則集合 $\{(x,y,z): (u,v)\in D\}$ 經由 $$\mathbf{r}(u,v) = x(u,v)\,\mathbf{i} + y(u,v)\,\mathbf{j} + z(u,v)\,\mathbf{k}$$ 所描繪出來的就是參數曲面 $S$。其三個分量 $x = x(u,v),\,y = y(u,v),\,z = z(u,v)$ 為參數方程式。
當點 $(u,v)$ 在 $D$ 中移動，$\mathbf{r}(u,v)$ 就像「位置向量」在三維空間掃出整張曲面。
$x = 3\cos u,\ y = 3\sin u$ ⇒ $x^2 + y^2 = 9$（半徑 3 的圓，與 $u$ 對應）。
$z = v$ 自由變動於 $[0,4]$。
每個固定 $v=v_0$ 對應 $z=v_0$ 平面與圓柱 $x^2+y^2=9$ 的交線（一個圓）。$v$ 從 0 跑到 4，這些圓沿 $z$ 軸由低到高堆疊。
反過來，給曲面找參數方程式常常較難。但若曲面寫成 $z = f(x,y)$，最自然的參數化就是：
令 $x = u\cos v,\ y = u\sin v$（$u\ge 0$ 為半徑、$v\in[0,2\pi]$ 為方位角）。則 $z = \sqrt{u^2\cos^2 v + u^2\sin^2 v} = u$（取正根）。
$\mathbf{r}(u,v) = u\cos v\,\mathbf{i} + u\sin v\,\mathbf{j} + u\,\mathbf{k},\quad 0\le u,\ 0\le v\le 2\pi$。
下面互動圖把講義例題與兩個補充曲面放在同一個介面：用兩個滑桿 $(u_0, v_0)$ 設定探針點 $P = \mathbf{r}(u_0, v_0)$，即時顯示三組向量：$\mathbf{r}_u$（紅）、$\mathbf{r}_v$（綠）、$\mathbf{N}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v$（藍）。可切換切平面顯示。下方累積條表示目前掃過的 $u$ 比例，並把 $\iint_D\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\,dA$ 的部分面積與總面積作比較；它是掃描進度，不是正確率。
固定 $v = v_0$，$\mathbf{r}(u, v_0)$ 是一參數曲線 $C_1\subset S$，其切向量為 $\mathbf{r}_u(u_0, v_0)$。同理固定 $u = u_0$ 得到 $C_2$，切向量為 $\mathbf{r}_v(u_0, v_0)$。$C_1$ 與 $C_2$ 都通過 $P$，所以它們的切向量 $\mathbf{r}_u,\,\mathbf{r}_v$ 張出 $P$ 處的切平面，而法向量就是它們的外積。
若 $\mathbf{r}(u,v) = x(u,v)\,\mathbf{i}+y(u,v)\,\mathbf{j}+z(u,v)\,\mathbf{k}$ 在 $D$ 上具連續偏導，且 $\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\ne\mathbf{0}$（對任何 $(u,v)\in D$ 都成立），則稱 $S$ 為光滑。$(u_0, v_0)$ 對應點 $(x_0,y_0,z_0)$ 的法向量為 $$\mathbf{N} = \mathbf{r}_u(u_0,v_0) \times \mathbf{r}_v(u_0,v_0) = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[2pt] x_u & y_u & z_u\\[2pt] x_v & y_v & z_v\end{vmatrix}.$$
$\mathbf{N} = \mathbf{0}$ 的地方就是「不光滑點」（如圓錐尖端、自交曲面）。
$(u_0, v_0) = (1, 2)$ 可以對應到 $(1, 2, 1+4) = (1, 2, 5)$ ✓。
$\mathbf{r}_u = (1, 0, 2u),\quad \mathbf{r}_v = (0, 1, 2v)$。
在 $(1,2)$：$\mathbf{r}_u = (1, 0, 2)$，$\mathbf{r}_v = (0, 1, 4)$。
$\mathbf{N} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 4\end{vmatrix} = (0\cdot 4 - 2\cdot 1)\,\mathbf{i} - (1\cdot 4 - 2\cdot 0)\,\mathbf{j} + (1\cdot 1 - 0\cdot 0)\,\mathbf{k} = (-2, -4, 1)$。
過點 $(1,2,5)$ 與法向量 $(-2,-4,1)$ 的平面：
$-2(x-1) - 4(y-2) + (z-5) = 0$
$\Rightarrow -2x - 4y + z + 2 + 8 - 5 = 0$
$\Rightarrow -2x - 4y + z = -5$
$\Rightarrow 2x + 4y - z = 5$。
把 $D$ 切成 $n$ 個小矩形，每個小矩形 $\Delta u_i \Delta v_i$ 對應到 $S$ 上一塊小曲面 $\Delta S_i$。用切平面上的平行四邊形近似 $\Delta S_i$，其兩邊為 $\Delta u_i\,\mathbf{r}_u$ 與 $\Delta v_i\,\mathbf{r}_v$，面積為 $\|\Delta u_i\,\mathbf{r}_u \times \Delta v_i\,\mathbf{r}_v\| = \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\,\Delta u_i\Delta v_i$。取 $\|\Delta\|\to 0$：
若每個 $D$ 中的 $(u,v)$ 對應 $S$ 上恰好一個點，則 $S$ 的表面面積為 $$\text{面積}(S) = \iint_S dS = \iint_D \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\,dA,$$ 其中 $\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v$ 同 定義 15.9。
$\mathbf{r}_x = (1,0,f_x),\,\mathbf{r}_y=(0,1,f_y)$。
$\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-f_x,-f_y,1)$，$\|\cdot\| = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}$。
$\text{面積}(S) = \iint_R \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA$，即 §14.5 公式。
$f\ge 0$ 沿 $x$ 軸繞旋轉，可參數化 $\mathbf{r}(u,v)=(u, f(u)\cos v, f(u)\sin v)$。
$\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\| = f(u)\sqrt{1 + [f'(u)]^2}$。
$\text{面積} = 2\pi\!\int_a^b f(u)\sqrt{1+[f'(u)]^2}\,du$，即 §7.4 公式。
$\mathbf{r}_u = (\cos u\cos v,\,\cos u\sin v,\,-\sin u)$。
$\mathbf{r}_v = (-\sin u\sin v,\,\sin u\cos v,\,0)$。
$\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v = (\sin^2 u\cos v,\,\sin^2 u\sin v,\,\sin u\cos u)$。
$\|\cdot\|^2 = \sin^4 u (\cos^2 v+\sin^2 v) + \sin^2 u\cos^2 u = \sin^4 u + \sin^2 u \cos^2 u = \sin^2 u (\sin^2 u + \cos^2 u) = \sin^2 u$。
所以 $\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\| = |\sin u| = \sin u$（因為 $u\in[0,\pi]$）。
$\text{面積} = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi \sin u\,du\,dv = \int_0^{2\pi}[-\cos u]_0^\pi\,dv = \int_0^{2\pi} 2\,dv = 4\pi$。
線積分 $\int_C f\,ds$ 把純量函數沿曲線累積；雙重積分 $\iint_R f\,dA$ 把它在平面區域上累積。本節要把累積的「領域」換成曲面，得到表面積分 $\iint_S f\,dS$。它有兩個面孔：純量被積函數（如質量密度 → 總質量）與向量被積函數（通量）（如流場通過曲面的流量、電場通量）。
設 $S$ 是 $z=g(x,y)$（$R$ 為其在 $xy$ 平面的投影）上的光滑曲面，$f$ 在 $S$ 上連續。把 $S$ 分割為 $n$ 小塊 $\Delta S_i$，取樣點 $(x_i, y_i, z_i)$，則 $$\iint_S f(x,y,z)\,dS = \lim_{\|\Delta\|\to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i, y_i, z_i)\,\Delta S_i,$$ 若極限存在。$f\equiv 1$ 時退化為 $\iint_S dS = $ 表面面積。
若 $g, g_x, g_y$ 在 $R$ 上連續、$f$ 在 $S$ 上連續，則 $$\iint_S f(x,y,z)\,dS = \iint_R f(x, y, g(x,y))\,\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dA.$$
若 $S$ 寫成 $y=g(x,z)$ 或 $x=g(y,z)$，把 $\sqrt{1+g_x^2+g_z^2}$ 或 $\sqrt{1+g_y^2+g_z^2}$ 替換，投影改到對應坐標平面即可。
令 $y = 3\cos\theta,\ z = 3\sin\theta$（$0\le\theta\le\pi/2$ 第一象限），$x = x$（$0\le x\le 4$）。
$\mathbf{r}(\theta, x) = (x,\,3\cos\theta,\,3\sin\theta)$。
$\mathbf{r}_\theta = (0,\,-3\sin\theta,\,3\cos\theta)$；$\mathbf{r}_x = (1,\,0,\,0)$。
$\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_x = (0,\,3\cos\theta,\,3\sin\theta)$（注意符號慣例：用此順序得到指向外的法向量）。
$\|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_x\| = \sqrt{9\cos^2\theta + 9\sin^2\theta} = 3$。所以 $dS = 3\,d\theta\,dx$。
沿 $S$ 取值：$x + z = x + 3\sin\theta$。
$\displaystyle\iint_S (x+z)\,dS = \int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^4 (x + 3\sin\theta)\cdot 3\,dx\,d\theta$。
內：$\int_0^4 (x+3\sin\theta)\,dx = 8 + 12\sin\theta$。
外：$3\int_0^{\pi/2}(8 + 12\sin\theta)\,d\theta = 3\left[8\cdot \tfrac{\pi}{2} + 12\cdot 1\right] = 3(4\pi + 12) = 12\pi + 36$。
若 $S$ 由 $\mathbf{r}(u,v)$ 在 $(u,v)\in D$ 上描繪：
由步驟 2 已知 $\|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_x\| = 3$。
$\displaystyle\iint_S(x+z)\,dS = \int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^4 (x+3\sin\theta)\cdot 3\,dx\,d\theta = 12\pi + 36$（與 例題 2 完全相同）。
若能在 $S$ 的每個非邊界點處定義一個連續變動的單位法向量 $\mathbf{N}$，就稱 $S$ 為可定向。可定向曲面有兩面（兩個相反方向的 $\mathbf{N}$），通常規定：
Möbius 帶只有一面，沿單一閉環走一週後法向量會變號 → 不存在連續單位法向量場。一般教學中遇到的球面、平面、圓柱、橢球、拋物面、環面都是可定向的，因此本章定理皆適用。
設 $\mathbf{F}(x,y,z) = M\,\mathbf{i} + N\,\mathbf{j} + P\,\mathbf{k}$，其分量在 $S$ 上具連續一階偏導。$S$ 由單位法向量 $\mathbf{N}$ 定向。$\mathbf{F}$ 通過 $S$ 的通量積分為 $$\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS.$$
物理意義：若 $\mathbf{F}$ 是流體速度場，$\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS$ = 每單位時間通過 $S$ 的流體體積。若 $\rho$ 是密度，$\iint_S \rho\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS$ = 質量流量。
$S$ 由 $z = g(x,y)$ 定義，$R$ 是其 $xy$ 投影。對上向定向： $$\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS = \iint_R \mathbf{F}\cdot(-g_x,\,-g_y,\,1)\,dA.$$ 下向時取相反符號 $(g_x,\,g_y,\,-1)$。
注意：分母 $\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}$ 在 $\mathbf{N}$ 與 $dS$ 中剛好相消，所以最後寫成簡潔形式。
下面互動圖把表面積分（純量）與通量積分（向量）放在同一個 3D 畫布上：把曲面切成小片，依掃描比例逐漸亮起，每個小片的顏色按 $f$ 或 $\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}$ 著色，下方數值顯示目前已掃過小片的累積近似值。進度條只表示掃描比例；累積值最後才用來和目標值比較。三個情境分別對應例題 2 / 例題 6 / 補充上半球 $z\,\mathbf{k}$ 通量。
球面上指向外的單位法向量為 $\mathbf{N} = \dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|} = \dfrac{\mathbf{r}}{a}$（因球面上 $\|\mathbf{r}\| = a$）。
$\mathbf{F}\cdot\mathbf{N} = \dfrac{kq\,\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^3}\cdot\dfrac{\mathbf{r}}{a} = \dfrac{kq\,\|\mathbf{r}\|^2}{a\,\|\mathbf{r}\|^3} = \dfrac{kq}{a\cdot a^2}\cdot a = \dfrac{kq}{a^2}$。
— 在整個球面上 是個常數！
球面面積 $= 4\pi a^2$，故 $\displaystyle\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS = \dfrac{kq}{a^2}\cdot 4\pi a^2 = 4\pi k q$。
回憶 §15.4 Green 定理的散度形式：$\displaystyle\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,ds = \iint_R \mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dA$。把這個「平面（2D） 邊界 ↔ 內部」的對應推到三維就得到散度定理：把「閉曲面（邊界） 上的通量」與「體積內（內部） 散度的總和」連起來。它是物理中守恆律（流量守恆、電場 Gauss 定律、熱傳導）的數學底層。
$Q$ 是三維空間中一塊立體區域；$S$ 是「圍住 $Q$ 的完整邊界」 — 此時稱 $S$ 為閉曲面。
外向定向：在 $S$ 的每點 $\mathbf{N}$ 都指向離開 $Q$ 內部的那一側。球面、立方體面、橢球、四面體都是常見的閉曲面。
設 $Q$ 為三維空間中一塊立體，邊界 $S$ 為閉曲面、外向定向。若 $\mathbf{F}$ 的分量函數在 $Q$ 上具連續一階偏導，則 $$\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS = \iiint_Q \mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV.$$
直觀：「淨流出 $Q$ 的量」（左邊）= 「$Q$ 內部所有源點 / 匯點的總和」（右邊）。內部相鄰小方塊之間的流量自我抵消，剩下的只是邊界上的淨流出。
定理對「多個簡單立體的有限聯集」也成立。若 $Q$ 由兩個閉曲面 $S_1, S_2$ 包圍（例如 $S_2$ 在 $S_1$ 內、$Q$ 是中間環狀區），則總通量 為 $\iint_{S_1}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}_1\,dS + \iint_{S_2}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}_2\,dS$，方向都向外（指出 $Q$）— 所以對 $S_2$ 而言是「指向中心」。
下面左右兩個 3D 圖同步播放：左邊是邊界閉曲面 $S$，每個小片顏色按 $\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}$，累積 $\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS$；右邊是立體 $Q$ 內部，每個樣本按 $\mathrm{div}\,\mathbf{F}$ 著色，累積 $\iiint_Q \mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV$。進度條只表示已掃描比例，左右數值才是積分近似值；動畫結束時兩邊應接近同一個目標值（驗證散度定理）。
$\mathrm{div}\,\mathbf{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x) + \dfrac{\partial}{\partial y}(y^2) + \dfrac{\partial}{\partial z}(z) = 1 + 2y + 1 = 2 + 2y$。
$Q$: $x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ 2x+2y+z\le 6$。
在 $xy$ 投影上：$x+y\le 3$、$x,y\ge 0$。$z$ 從 0 到 $6 - 2x - 2y$。
$\displaystyle\iiint_Q (2+2y)\,dV = \int_0^3\!\int_0^{3-x}\!\int_0^{6-2x-2y}(2+2y)\,dz\,dy\,dx$。
內：$\int_0^{6-2x-2y}(2+2y)\,dz = (2+2y)(6-2x-2y)$。
中（令 $u = 3-x$）：$\int_0^{u}(2+2y)(6-2x-2y)\,dy = \dfrac{2}{3}u^3 + 2u^2$（展開、合併、積分可得）。
外（令 $t = 3-x$，$dt = -dx$，邊界對調符號抵消）：
$\displaystyle\int_0^3 \left[\dfrac{2}{3}t^3 + 2t^2\right]dt = \left[\dfrac{t^4}{6} + \dfrac{2t^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{81}{6} + \dfrac{54}{3} = \dfrac{27}{2} + 18 = \dfrac{63}{2} = 31.5$。
$\mathrm{div}\,\mathbf{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}(2z) + \dfrac{\partial}{\partial y}(x) + \dfrac{\partial}{\partial z}(y^2) = 0 + 0 + 0 = 0$。
所以右邊 $\iiint_Q 0\,dV = 0$。
邊界 $S = S_1\cup S_2$：$S_1$ 是拋物面（外向 = 上方）；$S_2$ 是 $z=0$ 圓盤 $x^2+y^2\le 4$（外向 = 下方）。
分別算 $\iint_{S_1}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS$ 與 $\iint_{S_2}\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS$，兩者一定互相抵消（散度定理保證總和 = 0）。
把散度定理用到一個很小的球 $S_\alpha$（半徑 $\alpha$）取極限，得到：
在該點「噴出」流體，箭頭從 $P$ 向外輻射。典型例：$\mathbf{F} = (x,y,z)$，div = 3。
在該點「吸收」流體，箭頭朝 $P$ 收斂。典型例：$\mathbf{F} = -(x,y,z)$，div = $-3$。
局部既不生也不滅，流量平衡。典型例：旋轉場 $(-y,x,0)$、例題 2 的 $\mathbf{F}=(2z,x,y^2)$。
$\mathrm{div}\,\mathbf{F} = 6x^2 + 6y^2 + 6z^2 = 6(x^2+y^2+z^2) = 6\rho^2$（球座標）。
$dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$，$\rho\in[0,2]$, $\phi\in[0,\pi]$, $\theta\in[0,2\pi]$。
$\displaystyle\iiint_Q 6\rho^2\,dV = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^2 6\rho^2\cdot \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$。
$=6\cdot\!\left(\int_0^{2\pi} d\theta\right)\!\left(\int_0^\pi \sin\phi\,d\phi\right)\!\left(\int_0^2 \rho^4\,d\rho\right) = 6\cdot 2\pi\cdot 2\cdot \dfrac{32}{5} = \dfrac{768\pi}{5}$。
Green 定理另一個推廣方向是把平面區域 + 邊界線 換成曲面 + 邊界線。這就是 Stokes 定理：在三維中，曲面 $S$ 上的 旋度積分 = 邊界 $C$ 上的線積分。在 §15.7 我們把 Green 散度形式推到三維得到散度定理；本節把 Green curl 形式推到三維得到 Stokes，整個第 15 章就在此處收束。
$S$ 由單位法向量 $\mathbf{N}$ 定向；$C$ 為 $S$ 的邊界。正方向定義為：將右手拇指沿 $\mathbf{N}$ 方向，其餘四指捲曲的方向即 $C$ 的正方向。等價說法：站在 $\mathbf{N}$ 那一側往下看，$C$ 逆時針繞 $S$。
設 $S$ 為定向曲面，邊界 $C$ 為分段光滑簡單閉曲線，正定向。若 $\mathbf{F}$ 的分量函數在含 $S$、$C$ 的開區域上具連續一階偏導，則 $$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\mathrm{curl}\,\mathbf{F})\cdot\mathbf{N}\,dS.$$
特例：若 $S\subset xy$ 平面、$\mathbf{N}=\mathbf{k}$，則 $(\mathrm{curl}\,\mathbf{F})\cdot\mathbf{k} = \partial N/\partial x - \partial M/\partial y$，退化回 Green 定理！
左右兩個 3D 圖同步播放：左邊標記沿邊界 $C$ 走、累積 $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$；右邊曲面 $S$ 上樣本按 $(\mathrm{curl}\,\mathbf{F})\cdot\mathbf{N}$ 著色亮起、累積 $\iint_S(\mathrm{curl}\,\mathbf{F})\cdot\mathbf{N}\,dS$。進度條表示走過或掃過的比例，不代表數值正確率；最後左右累積值應接近同一個目標值。
$M=-y^2,\ N=z,\ P=x$。
$\mathbf{i}$ 分量：$P_y - N_z = 0 - 1 = -1$。
$\mathbf{j}$ 分量（注意要加負號）：$-(P_x - M_z) = -(1 - 0) = -1$。
$\mathbf{k}$ 分量：$N_x - M_y = 0 - (-2y) = 2y$。
所以 $\mathrm{curl}\,\mathbf{F} = -\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2y\,\mathbf{k}$。
$S$ 是該三角形的平面片。$z = 6 - 2x - 2y$ 上向定向：$\nabla G = (2, 2, 1)$，其中 $G = 2x+2y+z-6$。
$\mathbf{N}\,dS = (2, 2, 1)\,dA$（直接形式，無需化單位向量），其中 $dA$ 為 $xy$ 投影區域 $R$（$x+y\le 3$，$x,y\ge 0$）。
$\mathrm{curl}\,\mathbf{F}\cdot(2,2,1) = -2 - 2 + 2y = 2y - 4$。
$\displaystyle\iint_S \mathrm{curl}\,\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS = \iint_R (2y - 4)\,dA = \int_0^3\!\int_0^{3-y}(2y - 4)\,dx\,dy = \int_0^3 (2y - 4)(3 - y)\,dy$
$= \int_0^3 (6y - 2y^2 - 12 + 4y)\,dy = \int_0^3 (-2y^2 + 10y - 12)\,dy = -18 + 45 - 36 = -9$。
$M=2z,\ N=x,\ P=y^2$。
旋度 F：$\mathbf{i}$ 分量 $P_y - N_z = 2y - 0 = 2y$；$\mathbf{j}$ 分量 $-(P_x - M_z) = -(0 - 2) = 2$；$\mathbf{k}$ 分量 $N_x - M_y = 1 - 0 = 1$。
$\mathrm{curl}\,\mathbf{F} = (2y,\,2,\,1)$。
$\nabla G = (2x, 2y, 1)$，其中 $G = z + x^2 + y^2 - 4$（上向）。
$\mathrm{curl}\,\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS = (2y)(2x) + (2)(2y) + (1)(1) = 4xy + 4y + 1$。
積分區 $R$ 是圓盤 $x^2 + y^2\le 4$。對稱性：$\iint 4xy\,dA = 0$、$\iint 4y\,dA = 0$、$\iint 1\,dA = $ 面積 $= 4\pi$。
⇒ $\displaystyle\iint_S\mathrm{curl}\,\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS = 4\pi$。
$C:\mathbf{r}(t) = (2\cos t,\,2\sin t,\,0),\ 0\le t\le 2\pi$。
$\mathbf{r}'(t) = (-2\sin t,\,2\cos t,\,0)$。
$\mathbf{F}$ 在 $C$ 上（$z=0$）：$\mathbf{F} = (0,\,2\cos t,\,4\sin^2 t)$。
$\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' = 0\cdot(-2\sin t) + (2\cos t)(2\cos t) + (4\sin^2 t)(0) = 4\cos^2 t$。
$\displaystyle\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} 4\cos^2 t\,dt = 4\pi$。
把 Stokes 用到一個很小的圓盤 $S_\alpha$（半徑 $\alpha$、中心 $P$、法向 $\mathbf{N}$）取極限：
所以 Stokes 定理可以這樣讀：「曲面 $S$ 上每一點的局部旋轉取平均（曲面積分），等於它的邊界 $C$ 上總體流量（線積分）」 — 局部與整體互通。
| 定理 | 左邊（邊界） | 右邊（內部） | 維度 |
|---|---|---|---|
| 微積分基本定理 | $f(b) - f(a)$ | $\int_a^b f'(x)\,dx$ | $0\text{D} \to 1\text{D}$ |
| 線積分基本定理 (定理 15.5) | $f(B) - f(A)$ | $\int_C \nabla f\cdot d\mathbf{r}$ | $0\text{D} \to 1\text{D}$ |
| Green 定理 (定理 15.8) | $\oint_C M\,dx + N\,dy$ | $\iint_R (N_x - M_y)\,dA$ | $1\text{D} \to 2\text{D}$ |
| Stokes 定理 (定理 15.13) | $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ | $\iint_S (\mathrm{curl}\,\mathbf{F})\cdot\mathbf{N}\,dS$ | $1\text{D} \to 2\text{D}$（在 3D 中） |
| 散度定理 (定理 15.12) | $\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS$ | $\iiint_Q \mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV$ | $2\text{D} \to 3\text{D}$ |
共同模式：「邊界上的某種累積量」=「內部的某種導數的整體積分」。這是「Stokes 定理的廣義版本」在不同維度的化身。
把後四節要記住的公式、定理、運算子整理在一頁。本表延續 15.1–15.4 速查表，可串接整章使用。
$z = f(x,y)$ 的自然參數化為 $\mathbf{r}(x,y) = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + f(x,y)\,\mathbf{k}$。
$\mathbf{N}\ne\mathbf{0}$ 處可定義切平面；$\mathbf{N}=\mathbf{0}$ 處不光滑（如圓錐尖端）。
特例：$z = f(x,y)$ ⇒ $\|\cdot\| = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}$；旋轉面 ⇒ $2\pi\int f\sqrt{1+(f')^2}\,du$。
對定向無關。$f\equiv 1$ 即面積。
參數形式：$\iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,dA$。方向反轉 ⇒ 通量變號。
$E$ 場通過任何包圍電荷 $q$ 的閉曲面，總通量都是 $4\pi k q$ — 與曲面形狀、半徑無關。
前提：$Q$ 立體有限、$S$ 為其閉曲面外向定向、$\mathbf{F}$ 在 $Q$ 上一階偏導連續。
$> 0$ 表示源點；$< 0$ 表示匯點；$= 0$ 表示不可壓縮。
前提：$S$ 定向曲面、$C$ 為邊界、右手定則（$\mathbf{N}$ 與 $C$ 的方向相容）。當 $S\subset xy$ 平面、$\mathbf{N}=\mathbf{k}$ ⇒ 退化為 Green 定理。
curl 方向 = 旋轉軸；長度 = 旋轉強度。fluid 沿 $C$ 環流的「微觀繞圈率」。
| 定理 | 邊界（低維） | 內部（高維） | 所在節 |
|---|---|---|---|
| 線積分基本定理 | $f(B) - f(A)$ | $\int_C \nabla f\cdot d\mathbf{r}$ | §15.3 |
| Green 定理 | $\oint_C M\,dx + N\,dy$ | $\iint_R (N_x - M_y)\,dA$ | §15.4 |
| Stokes 定理 | $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ | $\iint_S (\mathrm{curl}\,\mathbf{F})\cdot\mathbf{N}\,dS$ | §15.8 |
| 散度定理 | $\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS$ | $\iiint_Q \mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV$ | §15.7 |
同一個想法：「邊界累積 = 內部導數的整體積分」，在 1D、2D、3D 都有對應版本。這正是 Stokes 定理的廣義內容。