目標：找一個多項式 $P_n(x)$，讓它在某個點 $c$ 附近「模仿」函數 $f(x)$。具體要求是：$P_n$ 在 $c$ 的函數值、一階導數、二階導數、……直到第 $n$ 階導數，全部和 $f$ 一致。
設多項式寫成以 $c$ 為中心的形式（這樣代 $x = c$ 時所有高次項會歸零，方便求解）：
現在逐一微分，每次微分後代入 $x = c$。代入的一瞬間，所有包含 $(x - c)$ 的項都變成 $0$，只剩最前面一項——這就是解出該係數的關鍵。
代 $x = c$（不微分）：
$P_n(c) = a_0 + a_1 \underbrace{(c-c)}_{0} + a_2 \underbrace{(c-c)^2}_{0} + \cdots = a_0$
要求 $P_n(c) = f(c)$ ⟹ $\boldsymbol{a_0 = f(c)}$。
微分一次再代 $x = c$：
$P_n'(x) = a_1 + 2a_2(x-c) + 3a_3(x-c)^2 + \cdots + na_n(x-c)^{n-1}$
代 $x = c$：後面的項全歸零，只剩 $P_n'(c) = a_1$。
要求 $P_n'(c) = f'(c)$ ⟹ $\boldsymbol{a_1 = f'(c)}$。
微分兩次再代 $x = c$：
$P_n''(x) = 2 \cdot 1 \cdot a_2 + 3 \cdot 2 \cdot a_3(x-c) + 4 \cdot 3 \cdot a_4(x-c)^2 + \cdots$
代 $x = c$：只剩 $P_n''(c) = 2!\, a_2$。
要求 $P_n''(c) = f''(c)$ ⟹ $2!\, a_2 = f''(c)$ ⟹ $\boldsymbol{\displaystyle a_2 = \frac{f''(c)}{2!}}$。
微分三次再代 $x = c$：
$P_n'''(x) = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_3 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot a_4(x-c) + \cdots$
代 $x = c$：只剩 $P_n'''(c) = 3!\, a_3$。
要求 $P_n'''(c) = f'''(c)$ ⟹ $\boldsymbol{\displaystyle a_3 = \frac{f'''(c)}{3!}}$。
一般規律：微分 $k$ 次再代 $x = c$。
$(x-c)^k$ 那一項微分 $k$ 次後變成 $k! \cdot a_k$（常數），更高次的項仍含 $(x-c)$，在 $x = c$ 歸零。所以 $P_n^{(k)}(c) = k!\, a_k$。
要求 $P_n^{(k)}(c) = f^{(k)}(c)$ ⟹ $\boldsymbol{\displaystyle a_k = \frac{f^{(k)}(c)}{k!}}$。
核心公式：每個係數由「$f$ 在 $c$ 的第 $k$ 階導數除以 $k!$」決定： $$\boxed{a_k = \frac{f^{(k)}(c)}{k!}}$$
將係數代回，得 $f$ 在 $c$ 的第 $n$ 階 Taylor 多項式：
$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k = f(c) + f'(c)(x-c) + \frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n$$當 $c = 0$ 時稱為 Maclaurin 多項式。令 $n \to \infty$，若級數收斂，就得到 Taylor 級數。
這是一切的基石。回憶無窮等比級數的求和公式：首項為 $a$、公比為 $r$ 時
$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots = \frac{a}{1 - r}, \quad |r| \lt 1$$取首項 $a = 1$、公比 $r = x$，立刻得到：
收斂區間：$(-1, 1)$
用 Taylor 公式交叉驗證——確認兩種方法得到的係數一致：
令 $f(x) = (1 - x)^{-1}$，$c = 0$。逐一求導：
$f(x) = (1-x)^{-1}$，$f(0) = 1$
$f'(x) = (1-x)^{-2}$，$f'(0) = 1$
$f''(x) = 2(1-x)^{-3}$，$f''(0) = 2$
$f'''(x) = 3!(1-x)^{-4}$，$f'''(0) = 3! = 6$
一般地：$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$，所以 $f^{(n)}(0) = n!$
代入 Taylor 係數公式：$\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{n!}{n!} = 1$
每項係數都是 $1$，和等比級數的結論完全一致。✓
$\frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 無定義，所以不能展開 Maclaurin 級數。改用 $c = 1$ 為中心。
策略：把 $\frac{1}{x}$ 化成「$\frac{a}{1 - r}$」的形式，就能直接套用幾何級數。
改寫：$\displaystyle\frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1 - x)}$
這裡把 $x$ 寫成 $1 - (1 - x)$，湊出 $\frac{1}{1 - \text{某個東西}}$ 的形式。令 $r = (1 - x)$。
套用幾何級數（首項 $a = 1$，公比 $r = 1 - x$）：
$$\frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (1-x)^n, \quad |1-x| \lt 1$$用 $(x - 1)$ 改寫：因為 $(1-x) = -(x-1)$，所以
$$\frac{1}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \big(-(x-1)\big)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-1)^n$$收斂條件：$|1 - x| \lt 1$，即 $0 \lt x \lt 2$
用 Taylor 公式交叉驗證——確認兩種方法得到的係數一致：
$f(x) = x^{-1}$，$c = 1$。逐一求導：
$f(x) = x^{-1}$，$f(1) = 1$
$f'(x) = -x^{-2}$，$f'(1) = -1$
$f''(x) = 2x^{-3}$，$f''(1) = 2$
$f'''(x) = -6x^{-4}$，$f'''(1) = -6$
一般地：$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n \cdot n!}{x^{n+1}}$，所以 $f^{(n)}(1) = (-1)^n \cdot n!$
Taylor 係數：$\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(1)}{n!} = \frac{(-1)^n \cdot n!}{n!} = (-1)^n$
和幾何級數得到的 $(-1)^n$ 完全一致。✓
已知 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$。想要 $\frac{1}{1+x}$ 的級數，只要在公式中把 $x$ 替換成 $-x$：
$$\frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$$展開前幾項：
收斂區間：$(-1, 1)$
這個級數是後面推導 $\arctan x$ 和 $\ln(1+x)$ 的重要起點。
$e^x$ 有一個得天獨厚的性質：所有階的導數都是自己。$f(x) = e^x$ ⟹ $f^{(n)}(x) = e^x$，所以 $f^{(n)}(0) = e^0 = 1$。
| $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ | Taylor 係數 $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ |
|---|---|---|---|
| 0 | $e^x$ | $1$ | $\frac{1}{0!} = 1$ |
| 1 | $e^x$ | $1$ | $\frac{1}{1!} = 1$ |
| 2 | $e^x$ | $1$ | $\frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$ |
| 3 | $e^x$ | $1$ | $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ |
| $n$ | $e^x$ | $1$ | $\frac{1}{n!}$ |
代入 Taylor 級數公式 $\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$：
收斂區間：$(-\infty, +\infty)$
$f(x) = \sin x$，$c = 0$。$\sin x$ 的導數以 4 為周期循環：
| $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ | Taylor 係數 $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ |
|---|---|---|---|
| 0 | $\sin x$ | $0$ | $0$ |
| 1 | $\cos x$ | $1$ | $\frac{1}{1!} = 1$ |
| 2 | $-\sin x$ | $0$ | $0$ |
| 3 | $-\cos x$ | $-1$ | $\frac{-1}{3!} = -\frac{1}{6}$ |
| 4 | $\sin x$ | $0$ | $0$ |
| 5 | $\cos x$ | $1$ | $\frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$ |
| $f^{(n)}(0)$ 的循環：$0,\, 1,\, 0,\, {-1},\, 0,\, 1,\, 0,\, {-1},\, \ldots$ | |||
偶數項（$n = 0, 2, 4, \ldots$）的 $f^{(n)}(0) = 0$，對應的 Taylor 係數為 $0$，所以偶次冪的項全部消失。
奇數項（$n = 1, 3, 5, \ldots$）交替為 $+1, -1, +1, -1, \ldots$
把非零項寫出：$n = 1$ 貢獻 $\frac{1}{1!}x$，$n = 3$ 貢獻 $\frac{-1}{3!}x^3$，$n = 5$ 貢獻 $\frac{1}{5!}x^5$，……
用 $n = 2k + 1$（$k = 0, 1, 2, \ldots$）統一表示奇數項，正負號為 $(-1)^k$：
收斂區間：$(-\infty, +\infty)$
| $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ | Taylor 係數 $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ |
|---|---|---|---|
| 0 | $\cos x$ | $1$ | $\frac{1}{0!} = 1$ |
| 1 | $-\sin x$ | $0$ | $0$ |
| 2 | $-\cos x$ | $-1$ | $\frac{-1}{2!} = -\frac{1}{2}$ |
| 3 | $\sin x$ | $0$ | $0$ |
| 4 | $\cos x$ | $1$ | $\frac{1}{4!} = \frac{1}{24}$ |
| $f^{(n)}(0)$ 的循環：$1,\, 0,\, {-1},\, 0,\, 1,\, 0,\, {-1},\, 0,\, \ldots$ | |||
這次奇數項全消，只剩偶數項，正負交替。用 $n = 2k$ 統一表示：
因為 $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$，所以直接對 $\sin x$ 的級數逐項微分：
$$\frac{d}{dx}\!\left[\,x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\,\right] = 1 - \frac{3x^2}{3!} + \frac{5x^4}{5!} - \frac{7x^6}{7!} + \cdots$$化簡：$\frac{3}{3!} = \frac{1}{2!}$，$\frac{5}{5!} = \frac{1}{4!}$，$\frac{7}{7!} = \frac{1}{6!}$，所以
$$= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$兩種方法殊途同歸：
收斂區間：$(-\infty, +\infty)$
觀察：$\sin x$ 的級數只有奇次冪 → 奇函數；$\cos x$ 的級數只有偶次冪 → 偶函數。與函數本身的對稱性完全一致。
| $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(1)$ | Taylor 係數 $\dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}$ |
|---|---|---|---|
| 0 | $\ln x$ | $0$ | $0$ |
| 1 | $x^{-1}$ | $1$ | $\frac{1}{1!} = 1$ |
| 2 | $-1 \cdot x^{-2}$ | $-1$ | $\frac{-1}{2!} = -\frac{1}{2}$ |
| 3 | $2 \cdot x^{-3}$ | $2$ | $\frac{2}{3!} = \frac{1}{3}$ |
| 4 | $-6 \cdot x^{-4}$ | $-6$ | $\frac{-6}{4!} = -\frac{1}{4}$ |
| $n \ge 1$ | $\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$ | $(-1)^{n-1}(n-1)!$ | $\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!} = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ |
代入 Taylor 級數：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n$。
Part 03 已得 $\frac{1}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(x-1)^n$（$0 \lt x \lt 2$）。因為 $\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$，兩邊從 $1$ 積到 $x$：
$$\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\, dt = \int_1^x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (t-1)^n \, dt$$逐項積分（在收斂區間內合法）：
$$= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_1^x (t-1)^n \, dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left[\frac{(t-1)^{n+1}}{n+1}\right]_1^x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}$$令 $m = n + 1$（即 $n = m - 1$），當 $n = 0, 1, 2, \ldots$ 時 $m = 1, 2, 3, \ldots$：
$$= \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{m}(x-1)^m$$和方法一的結果完全一致：
收斂區間：$0 \lt x \le 2$
關鍵觀察：$\arctan x$ 的導數剛好是我們已知的東西：
$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$$策略：先把 $\frac{1}{1+x^2}$ 展開成級數，再從 $0$ 到 $x$ 積分回去。
展開 $\frac{1}{1+x^2}$：從 Part 04 已知 $\frac{1}{1+u} = \sum (-1)^n u^n$（$|u| \lt 1$）。
令 $u = x^2$：
收斂條件：$|x^2| \lt 1$，即 $|x| \lt 1$。
兩邊從 $0$ 到 $x$ 積分：
$$\arctan x = \int_0^x \frac{1}{1+t^2}\, dt = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n}\, dt$$逐項積分：
$$= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^x t^{2n}\, dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$收斂區間：$-1 \le x \le 1$（含端點，由 Abel 定理保證）
取 $x = 1$：$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，代入得
$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots$$這是計算 $\pi$ 的經典公式之一（收斂很慢，但非常優美）。
和 $\arctan x$ 的策略相同：先展開導數，再積分。$\arcsin x$ 的導數是
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1 - x^2)^{-1/2}$$展開 $(1 - x^2)^{-1/2}$：利用二項級數 $(1+u)^k = \sum \binom{k}{n} u^n$（Part 11）。
取 $k = -\frac{1}{2}$，$u = -x^2$：
廣義二項係數 $\binom{-1/2}{n}$ 的計算：
$$\binom{-1/2}{n} = \frac{(-\tfrac{1}{2})(-\tfrac{3}{2})(-\tfrac{5}{2})\cdots(-\tfrac{2n-1}{2})}{n!} = (-1)^n \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2^n \cdot n!} = (-1)^n \cdot \frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$$代入 $u = -x^2$，注意 $(-1)^n$ 和 $(-x^2)^n = (-1)^n x^{2n}$ 相消：
$$(1 - x^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}\, x^{2n}$$前幾項展開：$= 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 + \frac{5}{16}x^6 + \cdots$
兩邊從 $0$ 到 $x$ 積分：
$$\arcsin x = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$收斂區間：$-1 \le x \le 1$
$f(x) = (1+x)^k$，其中 $k$ 不是正整數，$c = 0$。逐一求導：
| $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ | Taylor 係數 $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ |
|---|---|---|---|
| 0 | $(1+x)^k$ | $1$ | $1$ |
| 1 | $k(1+x)^{k-1}$ | $k$ | $k$ |
| 2 | $k(k-1)(1+x)^{k-2}$ | $k(k-1)$ | $\frac{k(k-1)}{2!}$ |
| 3 | $k(k-1)(k-2)(1+x)^{k-3}$ | $k(k-1)(k-2)$ | $\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}$ |
| $n$ | $k(k-1)\cdots(k-n+1)(1+x)^{k-n}$ | $k(k-1)\cdots(k-n+1)$ | $\binom{k}{n}$ |
這裡 $\binom{k}{n} = \frac{k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)}{n!}$ 是廣義二項係數——當 $k$ 不是正整數時，分子永遠不會變成零，所以級數有無窮多項。
$|x| \lt 1$（端點收斂性取決於 $k$）
逐項計算廣義二項係數：
$\binom{1/3}{0} = 1$
$\binom{1/3}{1} = \frac{1}{3}$
$\binom{1/3}{2} = \frac{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3})}{2!} = \frac{-\frac{2}{9}}{2} = -\frac{1}{9}$
$\binom{1/3}{3} = \frac{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{5}{3})}{3!} = \frac{\frac{10}{27}}{6} = \frac{5}{81}$
所以 $(1+x)^{1/3} = 1 + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{9} + \frac{5x^3}{81} - \cdots$，$|x| \lt 1$。
特殊情形：當 $k$ 是正整數 $m$ 時，$k - n + 1 = m - n + 1$，在 $n = m + 1$ 時分子出現因子 $0$，所以 $\binom{m}{n} = 0$（$n \gt m$），級數退化為有限項——這就是普通的二項式定理！
| 函數 | 級數 | 收斂區間 |
|---|---|---|
| $\frac{1}{1-x}$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ | $(-1,1)$ |
| $\frac{1}{1+x}$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ | $(-1,1)$ |
| $\frac{1}{x}$ ($c\!=\!1$) | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(x-1)^n$ | $(0,2)$ |
| $\ln x$ ($c\!=\!1$) | $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n$ | $(0,2]$ |
| $e^x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ | $(-\infty,\infty)$ |
| $\sin x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $(-\infty,\infty)$ |
| $\cos x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | $(-\infty,\infty)$ |
| $\arctan x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | $[-1,1]$ |
| $\arcsin x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!\, x^{2n+1}}{4^n(n!)^2(2n+1)}$ | $[-1,1]$ |
| $(1+x)^k$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n$ | $(-1,1)$* |
*端點收斂性取決於 $k$ 的值。
不必每次都從頭算導數。善用代換、恆等式、乘除、逐項積分就能從基本級數快速推出新級數。
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$，把每個 $x$ 替換成 $x^2$：
$$\sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^5}{5!} - \cdots = x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \cdots$$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$，把每個 $x$ 替換成 $\sqrt{x}$，注意 $(\sqrt{x})^{2n} = x^n$：
$$\cos\sqrt{x} = 1 - \frac{(\sqrt{x})^2}{2!} + \frac{(\sqrt{x})^4}{4!} - \cdots = 1 - \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{4!} - \frac{x^3}{6!} + \cdots$$先改寫成 $\frac{a}{1-r}$：$\frac{4}{x+2} = \frac{4}{2(1 + x/2)} = \frac{2}{1 - (-x/2)}$。
首項 $a = 2$，公比 $r = -\frac{x}{2}$，代入 $\frac{a}{1-r} = \sum ar^n$：
$$\frac{4}{x+2} = \sum_{n=0}^{\infty} 2 \cdot \left(-\frac{x}{2}\right)^n = 2 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{4} + \cdots, \quad |x| \lt 2$$先求 $\cos 2x$：在 $\cos x$ 的級數中把 $x$ 換成 $2x$：
$$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \cdots = 1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} - \cdots$$代入半角公式：
$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{4x^2}{2} - \frac{16x^4}{24} + \cdots\right] = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \cdots$$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$，$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \cdots$
逐項相乘，只保留到 $x^3$：
$x^1$ 項：$1 \cdot x = x$
$x^2$ 項：$x \cdot x = x^2$
$x^3$ 項：$\frac{x^2}{2}\cdot x + 1 \cdot (-\frac{x^3}{3}) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{6}$
設 $\tan x = c_1 x + c_3 x^3 + c_5 x^5 + \cdots$（$\tan x$ 是奇函數，只有奇次項）。
由 $\sin x = \cos x \cdot \tan x$，兩邊展開後比較同次冪係數：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$
$\cos x \cdot \tan x = \big(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots\big)\big(c_1 x + c_3 x^3 + c_5 x^5 + \cdots\big)$
$x^1$ 項：$1 = 1 \cdot c_1$，所以 $c_1 = 1$。
$x^3$ 項：$-\frac{1}{6} = c_3 + c_1 \cdot (-\frac{1}{2}) = c_3 - \frac{1}{2}$，所以 $c_3 = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$。
$x^5$ 項：$\frac{1}{120} = c_5 + c_3 \cdot (-\frac{1}{2}) + c_1 \cdot \frac{1}{24} = c_5 - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}$，所以 $c_5 = \frac{1}{120} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{2}{15}$。
$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$$$e^{-x^2}$ 沒有初等反導函數，但用 $e^u$ 的級數（$u = -x^2$）可以處理：
$$e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$$逐項從 $0$ 到 $1$ 積分：
$$\int_0^1 e^{-x^2}\, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \cdot \frac{1}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \cdots \approx 0.7429$$這是交錯級數，取到 $\frac{1}{42} \approx 0.024$ 時誤差已小於 $0.01$。
Taylor 係數 $a_n = f^{(n)}(c)/n!$ 來自「微分 $n$ 次再代 $x = c$，只有第 $n$ 項存活」。
$e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 靠直接建導數表再代入公式得出。
$\frac{1}{1-x}$（幾何級數，首項 $a = 1$、公比 $r = x$）是一切的基石。
代換 $x \to -x$ 得 $\frac{1}{1+x}$；改寫 $\frac{1}{x} = \frac{1}{1-(1-x)}$ 得 $\frac{1}{x}$。
$\ln x$ 和 $\arctan x$ 靠「展開導數的級數 → 積分回去」得到。
$\arcsin x$ 靠二項級數展開 $(1-x^2)^{-1/2}$ → 積分。
善用代換、恆等式、乘除、逐項積分，從基本級數即可推出所有常見展開式。