進入曲面之前，先用 3D 畫布找回空間感。下面的座標系用 x 軸 紅 y 軸 綠 z 軸 藍 三色標示，整個頁面將沿用這個配色。
講義目錄將本節標為「空間中的曲面（補充）」，因此本頁把它註明為補充章節。下面依講義順序整理柱面、二次曲面與旋轉面，作為辨認三維曲面的視覺輔助。
柱面 = 一條 母曲線 / 準線 在某一個座標平面上，連同所有平行於某座標軸、通過該曲線的直線 直紋線 組成的曲面。關鍵觀察：方程式裡「缺少」的變數就是直紋線方向。
講義例題：畫出下列柱面：(a) $z=y^2$；(b) $z=\sin x,\ 0\le x\le 2\pi$。下方互動也保留其他柱面作為對照，重點仍是判斷缺少哪個變數、直紋線平行哪個座標軸。
二次曲面 是三變數二次方程式 $Ax^2+By^2+Cz^2+\cdots+J=0$ 在空間中的圖形——圓錐曲線的三維對應。六種標準形式全部列在下方，點選任何一張卡片即可在主畫布中觀察它的形狀、調整參數 $a,b,c$，並開關 截痕。
旋轉面（定義 11.4）由一條 半徑函數 $r$ 的圖形繞一條座標軸旋轉而成；因為 $r$ 代表「到軸的距離」，所以必須 $r(z)\geq 0$。若繞 z 軸 旋轉 $y = r(z)$，其方程式是
下面五個預設是常見旋轉面例子（圓柱、拋物面、錐面、雙曲面、球面）。全部嚴格滿足 $r(z)\geq 0$；若 $r$ 本身只在有限範圍有定義（例如 $\sqrt{z}$ 需 $z\geq 0$、$\sqrt{4-z^2}$ 需 $\lvert z\rvert\leq 2$），我們也把畫面上 $z$ 的範圍同步縮到該定義域。
拖動滑桿觀察一個點在柱座標下的位置。想法：先在 xy 平面用極座標 $(r,\theta)$ 定位投影，再沿 z 軸拉到高度 $z$。你會同時看到 $(r,\theta,z)$ 與等價的 $(x,y,z)$。
球座標用 三個數字 定位：距原點距離 $\rho$、方位角 $\theta$、與 +z 軸 的夾角 $\phi$。拖動滑桿觀察 $\phi$ 從北極 $(\phi=0)$ 轉到赤道 $(\phi=\pi/2)$ 再到南極 $(\phi=\pi)$ 的變化。
| 方向 | 公式 |
|---|---|
| 柱 → 直角 | $x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z$ |
| 直角 → 柱 | $r^2 = x^2 + y^2,\quad \tan\theta = y/x,\quad z = z$ |
($r,\theta$ 是平面極座標，沒有強制 $r\ge 0$ 的規定——和二維極座標相同。)
| 方向 | 公式 |
|---|---|
| 球 → 直角 | $x = \rho\sin\phi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\phi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\phi$ |
| 直角 → 球 | $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\,(\geq 0),\quad \tan\theta = y/x,\quad \phi = \arccos\!\dfrac{z}{\rho}\ \in [0,\pi]$ |
| 方向 | 公式 |
|---|---|
| 球 → 柱 | $r^2 = \rho^2\sin^2\phi,\quad \theta = \theta,\quad z = \rho\cos\phi$ |
| 柱 → 球 | $\rho = \sqrt{r^2+z^2}\,(\geq 0),\quad \theta = \theta,\quad \phi = \arccos\!\dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}\ \in [0,\pi]$ |
| 對稱類型 | 首選系統 | 徵兆 |
|---|---|---|
| 平移對稱（柱面） | 直角 / 柱座標 | 方程式缺一個變數 |
| 繞 z 軸旋轉對稱 | 柱座標 | 方程式含 $x^2+y^2$ |
| 以原點為中心的點對稱 | 球座標 | 方程式含 $x^2+y^2+z^2$ |
| 錐形對稱（角度固定） | 球座標 | $z^2 = k(x^2+y^2)$ |