極座標與參數曲線動畫 — Polar & Parametric Curves

01 蚶線 Limaçon

蚶線 Limaçon（含心臟線）

$r = a \pm b\cos\theta \qquad r = a \pm b\sin\theta \qquad (a > 0,\; b > 0)$

一圈範圍：$0 \le \theta \le 2\pi$

$\dfrac{a}{b} < 1$

有內圈蚶線

$\dfrac{a}{b} = 1$

心臟線 (Cardioid)

$1 < \dfrac{a}{b} < 2$

凹陷蚶線

$\dfrac{a}{b} \ge 2$

凸蚶線

02 玫瑰線 Rose Curve

玫瑰線 Rose Curve

$r = a\cos n\theta \qquad r = a\sin n\theta \qquad (n \ge 2)$

$n$ 為奇數：$0 \le \theta \le \pi$；$n$ 為偶數：$0 \le \theta \le 2\pi$

$r = a\cos 3\theta$

3 瓣（$n$ 奇數 → $n$ 瓣）

$r = a\cos 4\theta$

8 瓣（$n$ 偶數 → $2n$ 瓣）

$r = a\sin 5\theta$

5 瓣（$n$ 奇數 → $n$ 瓣）

$r = a\sin 2\theta$

4 瓣（$n$ 偶數 → $2n$ 瓣）

03 圓 Circle

圓 Circle

$r = a\cos\theta \qquad r = a\sin\theta$

一圈範圍：$0 \le \theta \le \pi$

$r = a\cos\theta$

圓心 $(a/2, 0)$，半徑 $a/2$

$r = a\sin\theta$

圓心 $(0, a/2)$，半徑 $a/2$

04 雙紐線 Lemniscate

雙紐線 Lemniscate

$r^2 = a^2\cos 2\theta \qquad r^2 = a^2\sin 2\theta$

一圈範圍：$0 \le \theta \le 2\pi$（僅 $\cos 2\theta \ge 0$ 或 $\sin 2\theta \ge 0$ 時有圖形）

$r^2 = a^2\cos 2\theta$

沿極軸方向的 ∞ 形

$r^2 = a^2\sin 2\theta$

沿 $\theta = \pi/4$ 方向的 ∞ 形

05 參數曲線 Parametric Curves

擺線 Cycloid

$x = a(\theta - \sin\theta), \quad y = a(1 - \cos\theta)$

一拱：$0 \le \theta \le 2\pi$

圓在直線上滾動，圓周上一點描出的軌跡。尖點 (cusps) 出現在 $\theta = 2n\pi$，此時 $x'(\theta) = y'(\theta) = 0$。

長幅擺線 Prolate Cycloid

$x = 2t - \pi\sin t, \quad y = 2 - \pi\cos t$

$-\pi \le t \le 3\pi$

自交於 $(0, 2)$，在 $t = \pm\pi/2$ 處有兩條不同的切線。臂長超過滾動圓半徑時，軌跡會出現自交迴圈。

外擺線 Epicycloid

$x = (R+r)\cos t - r\cos\!\Big(\!\dfrac{R+r}{r}t\Big), \quad y = (R+r)\sin t - r\sin\!\Big(\!\dfrac{R+r}{r}t\Big)$

一圈：$0 \le t \le 2\pi$

小圓（半徑 $r$）沿大圓（半徑 $R$）外側滾動。講義範例 $R = 4,\, r = 1$：
$x = 5\cos t - \cos 5t,\quad y = 5\sin t - \sin 5t$，弧長 $= 40$。

極座標與參數曲線繪製動畫

選擇曲線

觀察繪製過程

極座標與參數曲線標準型式一覽