第 14.5 節 · 曲面面積
從投影面積 $dA$ 到傾斜面積 $dS$
給定一個定義在閉區域 $R$ 上的可微函數 $z=f(x,y)$，由其圖形 $S$ 在 $R$ 之上覆出的部分稱為一個曲面。把 $S$ 分割成許多小傾斜片並把每片貼到該點切平面上的平行四邊形，便能用兩條切向量 $(1,0,f_x)$ 與 $(0,1,f_y)$ 算出面積：
$$\|(1,0,f_x)\times(0,1,f_y)\|=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$$
定義 14.3
曲面面積
假設 $f$ 與其偏導數都在 $xy$ 平面中的閉區域 $R$ 上連續。由 $z=f(x,y)$ 的圖形在 $R$ 之上所定出的曲面 $S$ 之面積為
$$S=\iint_R dS=\iint_R\sqrt{1+\left[f_x(x,y)\right]^2+\left[f_y(x,y)\right]^2}\,dA$$
特別地：若 $f_x=f_y=0$ (水平片)，則 $dS=dA$；若 $f$ 越「陡」($f_x,f_y$ 越大)，$dS$ 越大於投影面積 $dA$。
互動：切平面平行四邊形貼合曲面
每個黃色平行四邊形是「在某點切平面上、投影回 $R$ 對應 $du\,dv$」的小片，面積 $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,du\,dv$。把切片數量拉高，總和就會收斂到 $\iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA$。
目前曲面
$z=x^2+y^2$
$dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA$
面積比較
解析度8×8
投影區域 $|R|$16.000
切片總和—
高解析度近似 $S$—
誤差—
觀察
把切片數加大，「切片總和」會逼近「高解析度近似 $S$」。對線性函數 $z=2x+y$，因 $f_x,f_y$ 為常數，每片面積相同，任何解析度都會穩定在同一值。
診斷視覺：傾斜角 $\gamma$ 如何決定 $dS/dA$
把曲面在某點的局部切平面想像成「對 $xy$ 平面斜傾斜角度 $\gamma$ 的薄片」。當 $\gamma=0$ 時切平面水平，$dS=dA$；$\gamma$ 越大切平面越陡，相同投影 $dA$ 對應的真實面積 $dS$ 就越大，倍率為 $\sec\gamma$。事實上若 $f_x,f_y$ 已給定，$\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sec\gamma$（其中 $\tan\gamma=\sqrt{f_x^2+f_y^2}$）。
關係
$dS = \sec\gamma\cdot dA$
$\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sec\gamma$
當前比例
$\gamma$30°
$\tan\gamma=\|\nabla f\|$0.577
$\sec\gamma=dS/dA$1.155
投影 $dA$1.000
真實 $dS$1.155
曲面面積延伸例題（補充）
以下例題用來練習講義的曲面面積公式；每題完整條件已列在題目標題中。
補充延伸例題 · 半球面積
$z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 在圓盤 $R: x^2+y^2\le 1.8^2$ 之上的曲面面積
步驟 1（求偏導與被積函數）
對 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$，$f_x=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2-y^2}}$，$f_y=\dfrac{-y}{\sqrt{4-x^2-y^2}}$，故 $1+f_x^2+f_y^2=\dfrac{(4-x^2-y^2)+x^2+y^2}{4-x^2-y^2}=\dfrac{4}{4-x^2-y^2}.$
步驟 2（換為極座標）
圓盤適用極座標 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，$dA=r\,dr\,d\theta$：$$S=\iint_R \dfrac{2}{\sqrt{4-r^2}}\cdot r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\!\int_0^{1.8}\dfrac{2r}{\sqrt{4-r^2}}\,dr\,d\theta.$$
步驟 3（內層代換 $u=4-r^2$）
$du=-2r\,dr$，$r=0\to u=4$、$r=1.8\to u=0.76$：$\displaystyle\int_0^{1.8}\dfrac{2r}{\sqrt{4-r^2}}dr=\bigl[-2\sqrt{4-r^2}\bigr]_0^{1.8}=2(2-\sqrt{0.76}).$
步驟 4（外層）
$\displaystyle S=\int_0^{2\pi}2(2-\sqrt{0.76})\,d\theta=4\pi(2-\sqrt{0.76}).$
$S=4\pi(2-\sqrt{0.76})\approx 14.18$。切換上方互動到 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 預設並提高切片數可驗證。
補充延伸例題 · 平面在矩形之上
$z=x+2y$ 在矩形 $R:[0,1]\times[0,2]$ 之上的曲面面積
步驟 1（偏導）
$f_x=1,\ f_y=2$，皆為常數。
步驟 2（被積函數為常數）
$\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$。所以 $S=\iint_R \sqrt{6}\,dA=\sqrt{6}\cdot |R|$。
步驟 3（投影面積）
$|R|=1\times 2=2$，故 $S=2\sqrt{6}\approx 4.899$。
$S=2\sqrt{6}\approx 4.899$。觀察：對線性函數 $f$，$\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$ 是常數，所以「Riemann 切片總和 = 精確值」無關切片數（上方互動切換到 $z=2x+y$ 任意 $N$ 都剛好命中）。
補充延伸例題 · 拋物面在第一象限圓盤
$z=x^2+y^2$ 在 $R:x^2+y^2\le 1,\ x\ge 0,\ y\ge 0$ 之上的曲面面積
步驟 1（偏導）
$f_x=2x,\ f_y=2y$，故 $1+f_x^2+f_y^2=1+4x^2+4y^2=1+4r^2$（極座標）。
步驟 2（極座標化）
第一象限 $\theta\in[0,\pi/2]$；$$S=\int_0^{\pi/2}\!\int_0^1 \sqrt{1+4r^2}\cdot r\,dr\,d\theta.$$
步驟 3（內層代換 $u=1+4r^2$）
$du=8r\,dr$，$r=0\to u=1$、$r=1\to u=5$：$\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+4r^2}\cdot r\,dr=\dfrac{1}{8}\!\int_1^5\sqrt{u}\,du=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_1^5=\dfrac{5\sqrt{5}-1}{12}.$
步驟 4（外層）
$\displaystyle S=\int_0^{\pi/2}\dfrac{5\sqrt{5}-1}{12}\,d\theta=\dfrac{\pi(5\sqrt{5}-1)}{24}.$
$S=\dfrac{\pi(5\sqrt 5-1)}{24}\approx 1.331$。整圓盤面積為此值的 4 倍 $\approx 5.33$。
概念辨析 · 別把 $f$ 與 $f_x,f_y$ 混淆
(1) 被積函數含 $f_x,f_y$ 不是 $f$：$\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$，常見錯誤是寫成 $\sqrt{1+f^2}$。
(2) $dS\ge dA$ 永遠成立：因 $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ge 1$。等號當且僅當切平面水平。
(3) $f$ 須在 $R$ 一階可微：邊界尖角處（如 $z=|x|$）公式失效，要分片處理。
(4) 「上半分支」的便利：寫 $z=f(x,y)$ 是單值函數；若曲面是球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 整顆，要分上下半分支各積一次。
概念題
關於圖形 $z=f(x,y)$ 在區域 $R$ 上的曲面面積元素 $dS$，下列敘述何者正確？
數字題
求平面 $z=3x+4y$ 在矩形 $[0,1]\times[0,1]$ 上的曲面面積。（提示：被積函數為常數）
14.5 重點整理
- 曲面面積公式：$S=\iint_R\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA$，因子來自切向量 $(1,0,f_x)\times(0,1,f_y)$ 的模。
- 幾何意義：$\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sec\gamma$ 是切平面對 $xy$ 平面的傾斜倍率，所以 $dS\ge dA$。
- 對「線性函數 $f=ax+by+c$」，被積函數為常數 $\sqrt{1+a^2+b^2}$，面積 = 此常數 × 投影區域面積。
- 圓盤型 $R$ 通常極座標化最簡：$dA=r\,dr\,d\theta$ 並換 $f_x,f_y$ 為極座標。
- 球面要分上 / 下半分支處理；$f_x,f_y$ 在分支邊界（如赤道）會發散，靠變數變換或極限處理。
第 14.6 節 · 三重積分
把區域切成 Riemann 切片，總和 $\to$ 三重積分
14.6.1 定義與性質
定義 14.4
三重積分
設 $f$ 在區域 $Q\subset\mathbb{R}^3$ 連續，把 $Q$ 切成 $n$ 個內部互不相交的小立體 $\Delta V_i$，$\|\Delta\|$ 為最大直徑。若極限
$$\iiint_Q f(x,y,z)\,dV=\lim_{\|\Delta\|\to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\,\Delta V_i$$
存在，便稱 $f$ 在 $Q$ 上可積分。特別地，$Q$ 的體積 $\displaystyle V(Q)=\iiint_Q dV$。
定理 14.4 · Fubini (三維)
若 $f$ 在 $Q$ 連續，且 $Q$ 由 $a\le x\le b,\ h_1(x)\le y\le h_2(x),\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)$ 描述，其中 $h_1,h_2,g_1,g_2$ 連續，則
$$\iiint_Q f\,dV=\int_a^b\!\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}\!\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$
同樣可以交換順序，但須先把對應變數的範圍重新寫好。一般策略：先看內層、再看中間、最後看外層是否「依賴更外面的變數」。
互動：Riemann 切片逼近立體區域
藍色曲面顯示真實邊界；紅色切片顯示 Riemann 近似。圓形投影用扇形柱、三角投影用三角柱，避免把平滑曲面誤畫成方格鋸齒；$N$ 越大，切片總體積越逼近 $\iiint_Q dV$。
目前立體
$0\le z\le 4-x^2-y^2$
f=1 (體積)
Riemann 切片近似
分割8×8×8
切片數—
$\sum f\Delta V$—
精確體積—
誤差—
提醒
$\iiint_Q dV$ 等於 $Q$ 的體積；本節先專注在把三維區域 $Q$ 正確寫成三層積分。
14.6.2 經典例題與技法
補充延伸例題 · 拋物面下方體積
$Q$：$0\le z\le 4-x^2-y^2$，求 $V=\iiint_Q dV$
步驟 1（投影到 xy）
$z\ge 0$ 要求 $4-x^2-y^2\ge 0$，即 $D:x^2+y^2\le 4$（半徑 2 圓盤）。
步驟 2（先對 z 積）
$\displaystyle\int_0^{4-x^2-y^2}dz=4-x^2-y^2$。剩下對 $(x,y)$ 在圓盤上積分。
步驟 3（極座標化）
$\displaystyle V=\iint_D (4-r^2)\,r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\!\int_0^2 (4-r^2)\,r\,dr\,d\theta.$
步驟 4（內層 + 外層）
$\displaystyle\int_0^2(4r-r^3)\,dr=[2r^2-\tfrac{r^4}{4}]_0^2=8-4=4$；$\displaystyle V=\int_0^{2\pi}4\,d\theta=8\pi.$
$V=8\pi\approx 25.133$。上方互動切到「$z=x^2+y^2$ 與 $z=4$」預設並把 $N$ 拉大可看 Riemann 和逼近 $8\pi$。
補充延伸例題 · 拋物面下方加權體積
求 $\displaystyle\iiint_E z\,dV$，$E:0\le z\le 1-x^2-y^2$
步驟 1（區域投影）
$z\ge 0\Rightarrow x^2+y^2\le 1$，$D$ 為單位圓盤。
步驟 2（先對 z 積）
$\displaystyle\int_0^{1-x^2-y^2}z\,dz=\tfrac{(1-x^2-y^2)^2}{2}.$
步驟 3（極座標化）
$\displaystyle\iint_D \tfrac{(1-r^2)^2}{2}\,r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\!\int_0^1 \tfrac{(1-r^2)^2}{2}\,r\,dr\,d\theta.$
步驟 4（內層代換 $u=1-r^2$）
$du=-2r\,dr$：$\displaystyle\int_0^1 (1-r^2)^2 r\,dr=\tfrac{1}{2}\!\int_0^1 u^2\,du=\tfrac{1}{6}.$
步驟 5（外層）
$\displaystyle\iiint_E z\,dV=\int_0^{2\pi}\tfrac{1}{12}\,d\theta=\tfrac{\pi}{6}.$
$\displaystyle\iiint_E z\,dV=\dfrac{\pi}{6}\approx 0.524$。教學重點：「先對最容易範圍的變數積」— 這裡 $z$ 範圍最簡單（$0$ 到 $1-x^2-y^2$）。
診斷視覺：第一型區域 $\to$ 投影到 xy 平面
三維區域 $E$ 寫成 第一型 形式 $\{(x,y,z): (x,y)\in D,\ z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\}$ 時，投影到 $xy$ 平面是 $D$。下圖示意「$xy$ 平面上方、拋物面 $z=4-x^2-y^2$ 下方」這個三維區域與其 $xy$ 投影 $D:x^2+y^2\le 4$ 的關係。
概念辨析 · 第一型/II/III 與「先積誰」
(1) 第一型（投影到 xy）：$z$ 介於 $z_1(x,y)$ 與 $z_2(x,y)$，$(x,y)\in D\subset xy$。最常用。
(2) 第一型I（投影到 yz）：$x$ 介於 $x_1(y,z)$ 與 $x_2(y,z)$，$(y,z)\in D\subset yz$。
(3) 第一型II（投影到 xz）：$y$ 介於 $y_1(x,z)$ 與 $y_2(x,z)$，$(x,z)\in D\subset xz$。
(4) 策略：選那個讓「最內層上下限是常數或最簡單」的型態。上方拋物面例題的 $z\in[0,4-x^2-y^2]$ 就比反過來「$x\in[\dots]$ 上下含 $z$」簡單。
(5) $dV\ne dA$：$dV=dz\,dA=dx\,dy\,dz$；別把 $dA$ 當成 $dV$。
概念題
想把 $\displaystyle\iiint_Q f\,dz\,dy\,dx$ 改成 $\,dx\,dy\,dz$ 順序，下列何者正確？
數字題
求立方體 $[0,1]^3$ 上的 $\displaystyle\iiint_Q xyz\,dV$。（提示：三重積分可拆成 $\int x\,dx\cdot\int y\,dy\cdot\int z\,dz$，因為被積函數可分離）
14.6 重點整理
- 三重積分 $\iiint_Q f\,dV$ = Riemann 和 $\sum f(x_i,y_i,z_i)\,\Delta V_i$ 的極限；$f=1$ 給出體積。
- Fubini（三維）：$f$ 連續且 $Q$ 為 第一型 時可寫成三層重複積分 $\int\!\int\!\int f\,dz\,dy\,dx$。
- 選 第一型/II/III 的關鍵：讓「最內層」的上下限最簡（最好是常數或單一外層變數的函數）。
- 換序不只是換 $d$ — 必須重新描述 $Q$ 的不等式，把每個變數的上下限用「新外層變數」表示。
- 圓盤投影 $D$ 用極座標：$\iiint_E f\,dV=\int\!\int_D\bigl(\int_{z_1}^{z_2}f\,dz\bigr)r\,dr\,d\theta$。
- 本頁聚焦 14.6 的三重積分設定與體積計算。
第 14.7 節 · 圓柱與球面座標的三重積分
用對稱挑座標：$dV$ 的真實樣貌
14.7.1 圓柱座標：$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$
圓柱座標 $(r,\theta,z)$ 與直角座標的轉換：
$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z.$$
把厚度為 $dr,\,d\theta,\,dz$ 的小元素圍出一塊楔形殼。它的兩個 $z$ 面是「環形扇形」，在 $r$ 方向長度 $dr$、在 $\theta$ 方向圓弧長 $r\,d\theta$，所以底面積 $\approx r\,dr\,d\theta$，乘上高 $dz$ 得
$$dV\approx r\,dr\,d\theta\,dz.$$
14.7.1 公式 · 圓柱座標三重積分
$$\iiint_Q f\,dV=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\!\!\int_{g_1(\theta)}^{g_2(\theta)}\!\!\int_{h_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{h_2(r\cos\theta,r\sin\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,dz\,dr\,d\theta.$$
注意末端那個額外的 $r$：來自雅可比 $\partial(x,y,z)/\partial(r,\theta,z)=r$。
互動：拖動 $(r,\theta,z)$ 與 $(dr,d\theta,dz)$ 觀察 $dV$
體積元素
$dV \approx r\,dr\,d\theta\,dz$
$|J|=r$（雅可比）
當下楔形殼
r2.00
θ60°
z1.50
dr0.50
dθ29°
dz0.60
$r\,dr\,d\theta\,dz$—
精確楔形體積—
適用
區域具圓柱對稱 (繞 $z$ 軸對稱) 時最簡。例如圓柱、圓錐、繞軸旋轉體、${x^2+y^2}$ 出現在被積函數時。
圓柱座標例題
補充延伸例題 · 圓柱上的加權積分
求 $\displaystyle\iiint_E z\,dV$，$E:x^2+y^2\le 4,\ 0\le z\le 3$（半徑 2、高 3 圓柱）
步驟 1（描述區域）
$E$ 在圓柱座標：$0\le r\le 2,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le z\le 3$。$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。
步驟 2（變數分離）
被積函數 $z$ 與 $r,\theta$ 無關 — 三層積分可拆：$$\iiint_E z\,dV=\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^2\!\!\int_0^3 z\cdot r\,dz\,dr\,d\theta=\!\!\int_0^{2\pi}\!d\theta\!\int_0^2 r\,dr\!\int_0^3 z\,dz.$$
步驟 3（三層獨立計算）
$\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi$；$\int_0^2 r\,dr=2$；$\int_0^3 z\,dz=\tfrac{9}{2}$。乘起來：$2\pi\cdot 2\cdot\tfrac{9}{2}=18\pi.$
$\displaystyle\iiint_E z\,dV=18\pi\approx 56.55$。觀察：被積函數可分離，三層積分等於三個一維積分相乘。
補充延伸例題 · 圓錐與平面圍成的體積
求圓錐 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 與平面 $z=2$ 圍成立體 $E$ 的體積
步驟 1（圓柱座標化）
圓錐 $z=\sqrt{x^2+y^2}=r$；上界平面 $z=2$。底面為圓盤 $r\le 2$（由 $r=2$ 解出）。$E$：$0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le r\le 2,\ r\le z\le 2$。
步驟 2（最內層 $z$）
$\displaystyle\int_r^2 dz=2-r$。
步驟 3（中層 $r$）
$\displaystyle\int_0^2 r(2-r)\,dr=\bigl[r^2-\tfrac{r^3}{3}\bigr]_0^2=4-\tfrac{8}{3}=\tfrac{4}{3}.$
步驟 4（外層 $\theta$）
$\displaystyle V=\int_0^{2\pi}\tfrac{4}{3}\,d\theta=\tfrac{8\pi}{3}.$
$V=\dfrac{8\pi}{3}\approx 8.378$。可比對直角座標 $\int\!\int_D (2-\sqrt{x^2+y^2})\,dA$，會麻煩許多。
補充延伸例題 · 圓錐上的加權積分
求 $\displaystyle\iiint_E (x^2+y^2)\,dV$，其中 $E$ 為圓錐 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 與平面 $z=2$ 圍成的立體區域。
步驟 1（圓柱座標）
$x^2+y^2=r^2$，被積函數 $r^2\cdot r=r^3$（含 $dV$ 中的 $r$）。$E$：$0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le r\le 2,\ r\le z\le 2$。
步驟 2（最內層）
$\displaystyle\int_r^2 r^3\,dz=r^3(2-r).$
步驟 3（中層）
$\displaystyle\int_0^2 r^3(2-r)\,dr=\bigl[\tfrac{r^4}{2}-\tfrac{r^5}{5}\bigr]_0^2=8-\tfrac{32}{5}=\tfrac{8}{5}.$
步驟 4（外層）
$\displaystyle\iiint_E(x^2+y^2)\,dV=\int_0^{2\pi}\tfrac{8}{5}d\theta=\tfrac{16\pi}{5}.$
$\displaystyle\iiint_E(x^2+y^2)\,dV=\dfrac{16\pi}{5}\approx 10.05$。教學重點：被積函數含 $x^2+y^2$ 時，圓柱座標會把它直接化為 $r^2$。
14.7.2 球面座標：$dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$
球面座標 $(\rho,\phi,\theta)$ 中，$\rho\ge0$ 為徑距、$\phi\in[0,\pi]$ 為從正 $z$ 軸量下的極角、$\theta\in[0,2\pi)$ 為 $xy$ 平面方位角：
$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,\ z=\rho\cos\phi.$$
把 $d\rho,d\phi,d\theta$ 各取一小段，產生的「球殼楔形」近似一個盒子，邊長分別為 $d\rho$、$\rho\,d\phi$、$\rho\sin\phi\,d\theta$，故
$$dV\approx \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$$
因子 $\sin\phi$ 是因為「同 $\rho$ 的緯線圈」周長為 $2\pi\rho\sin\phi$，赤道 ($\phi=\pi/2$) 最大、兩極 ($\phi=0,\pi$) 為零。
14.7.2 公式 · 球面座標三重積分
$$\iiint_Q f\,dV=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\!\!\int_{\phi_1}^{\phi_2}\!\!\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi)\,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$$
體積元素
$dV \approx \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$
$|J|=\rho^2\sin\phi$
當下球楔
ρ2.50
φ60°
θ45°
dρ0.50
dφ29°
dθ29°
$\rho^2\sin\phi\,d\rho d\phi d\theta$—
精確球楔—
適用
區域具球對稱時最簡（球體、球殼、上半球、錐體 $\phi\le\phi_0$）；被積函數含 $x^2+y^2+z^2$ 時用球座標通常變成 $\rho^2$。
球面座標例題
補充延伸例題 · 球體積（從定義）
用球面座標證明半徑 $a$ 的球體積為 $V=\dfrac{4\pi a^3}{3}$
步驟 1（描述球）
$E:0\le\rho\le a,\ 0\le\phi\le\pi,\ 0\le\theta\le 2\pi$；$dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$。
步驟 2（三層分離）
$f=1$，三層完全分離：$$V=\!\int_0^{2\pi}\!d\theta\!\int_0^\pi\!\sin\phi\,d\phi\!\int_0^a\rho^2\,d\rho.$$
步驟 3（三層計算）
$\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi$；$\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi=2$；$\int_0^a\rho^2\,d\rho=\tfrac{a^3}{3}$。乘起來：$2\pi\cdot 2\cdot\tfrac{a^3}{3}=\dfrac{4\pi a^3}{3}.$
$V=\dfrac{4\pi a^3}{3}$。注意：$\phi$ 範圍 $[0,\pi]$（不是 $[0,2\pi]$！），覆蓋從北極到南極一次。
補充延伸例題 · 含 $e^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ 的單位球積分
求 $\displaystyle\iiint_E e^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dV$，$E$ 為單位球 $\rho\le 1$
步驟 1（球座標化）
$x^2+y^2+z^2=\rho^2\Rightarrow (x^2+y^2+z^2)^{3/2}=\rho^3$。被積函數變成 $e^{\rho^3}\cdot\rho^2\sin\phi$。
步驟 2（三層拆開）
$\displaystyle\!\int_0^{2\pi}\!d\theta\!\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi\!\int_0^1 e^{\rho^3}\rho^2\,d\rho.$
步驟 3（內層代換 $u=\rho^3$）
$du=3\rho^2 d\rho$，$\rho=0\to u=0$、$\rho=1\to u=1$：$\displaystyle\int_0^1 e^{\rho^3}\rho^2\,d\rho=\tfrac{1}{3}\!\int_0^1 e^u du=\tfrac{e-1}{3}.$
步驟 4（合成）
$\displaystyle\iiint_E e^{\rho^3}\,dV=2\pi\cdot 2\cdot\tfrac{e-1}{3}=\dfrac{4\pi(e-1)}{3}.$
$\displaystyle\iiint_E e^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dV=\dfrac{4\pi(e-1)}{3}\approx 7.198$。教學重點：用球座標把 $(x^2+y^2+z^2)^k$ 換成 $\rho^{2k}$，常常解開原本不可解的 $e^{\rho^2}$ 等指數。
補充延伸例題 · 球與圓錐的交集
求單位球 $\rho\le 1$ 與圓錐 $z\ge\sqrt{x^2+y^2}$ 上方所夾區域 $E$ 的體積
步驟 1（圓錐 $\to$ 球座標）
$z=\sqrt{x^2+y^2}\Leftrightarrow\rho\cos\phi=\rho\sin\phi\Leftrightarrow\tan\phi=1\Leftrightarrow\phi=\tfrac{\pi}{4}$。「圓錐上方」對應 $\phi\le\pi/4$。
步驟 2（描述 $E$）
$E:0\le\rho\le 1,\ 0\le\phi\le\pi/4,\ 0\le\theta\le 2\pi$。
步驟 3（三層分離）
$\displaystyle V=\!\int_0^{2\pi}\!d\theta\!\int_0^{\pi/4}\!\sin\phi\,d\phi\!\int_0^1\rho^2\,d\rho=2\pi\cdot\bigl[1-\tfrac{\sqrt 2}{2}\bigr]\cdot\tfrac{1}{3}.$
步驟 4（化簡）
$\displaystyle V=\dfrac{2\pi}{3}\Bigl(1-\tfrac{\sqrt 2}{2}\Bigr)=\dfrac{\pi(2-\sqrt 2)}{3}.$
$V=\dfrac{\pi(2-\sqrt 2)}{3}\approx 0.613$。「冰淇淋」幾何：底為球面、上端是圓錐尖。換用其他座標都會非常複雜。
概念辨析 · 三套座標的常見陷阱
(1) 圓柱座標 $r$ 是平面投影距離，不是 三維 距離。三維 距離是球座標的 $\rho$。
(2) 球面座標 $\phi$ 是極角（從 +z 軸量起），不是仰角（從 xy 平面量起）。範圍 $[0,\pi]$。「赤道」$\phi=\pi/2$ 而非 $0$。
(3) $\theta$ 在圓柱與球面座標都是 xy 平面方位角，範圍 $[0,2\pi)$。
(4) 三種 $dV$ 不能混用：直角 $dx\,dy\,dz$、圓柱 $r\,dr\,d\theta\,dz$、球面 $\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$。漏掉 $r$ 或 $\rho^2\sin\phi$ 是最常見錯誤。
(5) $\sin\phi$ 永遠正（因 $\phi\in[0,\pi]$），所以 $|J|=\rho^2\sin\phi$ 不需取絕對值。
診斷視覺：dV 的圓柱 vs 球面對比
同樣是「徑向 × 角向 × 厚度」的小體積，圓柱座標乘上 $r$，球面座標乘上 $\rho^2\sin\phi$。下面雙圖固定小角度與小厚度，展示 $r$ 或 $\rho,\phi$ 變化時體積元素的相對大小。
球面：截面 $\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi$
圓柱 r
1.50
球面 ρ
1.50
球面 φ
90°
當前體積元素值（取 $\Delta r=\Delta\rho=\Delta\theta=\Delta\phi=\Delta z=0.1$）
圓柱 $r\,\Delta r\,\Delta\theta\,\Delta z$—
球面 $\rho^2\sin\phi\,\Delta\rho\,\Delta\phi\,\Delta\theta$—
$\sin\phi$ 因子—
三套座標的 $dV$ 速查
| 座標 | 變數轉換 | $dV$ | 適用區域 |
|---|
| 直角 | $(x,y,z)$ | $dx\,dy\,dz$ | 盒形、平面切割 |
| 圓柱 | $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z$ | $r\,dr\,d\theta\,dz$ | 繞 $z$ 軸旋轉對稱 |
| 球面 | $x=\rho\sin\phi\cos\theta,\dots$ | $\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$ | 球對稱、錐 |
概念檢查
把 $\iiint_Q f\,dV$ 改寫為圓柱座標時，$dV$ 應寫成？
概念題
球面座標中 $dV$ 為何含 $\sin\phi$？
數字題
求半球 $E:0\le z,\ x^2+y^2+z^2\le 1$ 的體積。（提示：用球面座標 $\phi\in[0,\pi/2]$）
14.7 重點整理
- 圓柱座標：$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z$；$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$（雅可比 $|J|=r$）。
- 球面座標：$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,\ z=\rho\cos\phi$；$dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$。
- $\phi\in[0,\pi]$ 從 +z 軸量起；$\theta\in[0,2\pi)$ 是 xy 平面方位角。常見錯誤是把 $\phi$ 當仰角。
- 選用準則：圓柱對稱（含 $\sqrt{x^2+y^2}$、繞 $z$ 軸旋轉體）→ 圓柱；球對稱、含 $x^2+y^2+z^2$ → 球面。
- 「最內層先固定範圍」原則：圓柱 z 從 $z_1(r,\theta)$ 到 $z_2(r,\theta)$；球面 $\rho$ 從 $\rho_1(\phi,\theta)$ 到 $\rho_2(\phi,\theta)$。
- 當被積函數可分離（如 $f(\rho)\cdot g(\phi)\cdot h(\theta)$），三層積分可拆成三個一維積分相乘。
- 常用值：球體積 $\tfrac{4}{3}\pi a^3$、圓錐體積 $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h$、半球體積 $\tfrac{2}{3}\pi a^3$。
14.8 變數變換：雅可比矩陣（補充）
14.8 $|J|$ 是面積放大率（補充）
本節對應講義的雅可比變數變換內容，但在本頁列為補充章節；主線仍以 14.5 曲面面積、14.6 三重積分、14.7 圓柱與球面座標為準。
14.8.1 雅可比
給定 $T:(u,v)\mapsto(x,y)=(g(u,v),h(u,v))$，雅可比為
$$\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\!\begin{pmatrix}\partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v\end{pmatrix}=\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}.$$
定理 14.5 · 二重積分變數變換
若 $T$ 在 $S$ 內為一對一且具連續一階偏導，$f$ 在 $R=T(S)$ 連續且 $\partial(x,y)/\partial(u,v)\ne 0$，則
$$\iint_R f(x,y)\,dx\,dy=\iint_S f(g(u,v),h(u,v))\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv.$$
幾何意義
把 $(u,v)$ 平面上的小矩形 $du\,dv$ 經過 $T$ 送到 $(x,y)$ 平面，會變形為一個近似的平行四邊形，面積為 $|J|\,du\,dv$。換言之 $|J|$ 是局部面積放大率。
互動：左圖一個 $du\,dv$ 矩形 → 右圖被 $T$ 映成的彎曲小片
目前變換
極座標 x=r cosθ, y=r sinθ
$|J|=r$
在 $(u_0,v_0)$ 處
$|J(u_0,v_0)|$—
$dS=du\,dv$—
$dA\approx|J|\,dS$—
注意
使用變換時：(1) 在 $S$ 上 $T$ 必須一對一；(2) $|J|\ne 0$；(3) 別忘了取 絕對值。極座標即此理：$dx\,dy=r\,dr\,d\theta$。
診斷視覺：$|J(u,v)|$ 熱力圖
下圖是「在 uv 平面用顏色顯示 $|J(u,v)|$ 大小」。藍 = 變換把 uv 區域縮小送到 xy（小 $|J|$）；紅 = 變換把 uv 區域放大送到 xy（大 $|J|$）。對極座標 $|J|=r$，原點處 $|J|=0$（藍），離原點越遠越紅；對線性 $|J|=$常數時整片均勻一色。
14.8.2 經典例題與技法
講義例題 1 · 直角座標到極座標
求變數變換 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ 的雅可比。
步驟 1（列偏導數）
$$\frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta,\quad \frac{\partial x}{\partial\theta}=-r\sin\theta,\quad \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta,\quad \frac{\partial y}{\partial\theta}=r\cos\theta.$$
步驟 2（排成行列式）
$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\[2pt]\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}.$$
步驟 3（化簡）
$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r.$$
因此極座標換元時 $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$。
講義例題 2 · 找出使區域變矩形的變換
$R$ 由 $x-2y=0,\ x-2y=-4,\ x+y=4,\ x+y=1$ 圍成。找一個把矩形區域 $S$ 送到 $R$ 的變換 $T$。
步驟 1（把邊界當新變數）
令 $$u=x-2y,\qquad v=x+y.$$ 這樣四條邊界變成 $u=0,\ u=-4,\ v=4,\ v=1$。
步驟 2（寫出 $S$）
因此 $S$ 是 $uv$ 平面中的矩形：$$-4\le u\le 0,\qquad 1\le v\le 4.$$
步驟 3（反解成 $x,y$）
由 $u=x-2y,\ v=x+y$ 得 $$y=\frac{v-u}{3},\qquad x=\frac{u+2v}{3}.$$
所需變換為 $$T(u,v)=\left(\frac{u+2v}{3},\,\frac{v-u}{3}\right),\quad -4\le u\le0,\ 1\le v\le4.$$
講義例題 3 · 用變數變換簡化區域
同例題 2 的區域 $R$，計算 $\displaystyle\iint_R 3xy\,dA$。
步驟 1（沿用例題 2 的變換）
$$x=\frac{u+2v}{3},\qquad y=\frac{v-u}{3},\qquad S:\ -4\le u\le0,\ 1\le v\le4.$$
步驟 2（算雅可比）
$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{pmatrix}1/3&2/3\\[2pt]-1/3&1/3\end{pmatrix}=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac13.$$
步驟 3（換被積函數）
$$3xy\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=3\left(\frac{u+2v}{3}\right)\left(\frac{v-u}{3}\right)\frac13=\frac{(u+2v)(v-u)}{9}.$$
步驟 4（積分）
$$\iint_R3xy\,dA=\int_{-4}^{0}\int_{1}^{4}\frac{(u+2v)(v-u)}{9}\,dv\,du=\frac{122}{9}.$$
$\displaystyle\iint_R3xy\,dA=\frac{122}{9}$。
講義例題 4 · 用變數變換簡化被積函數
$R$ 是頂點 $(0,1),(1,2),(2,1),(1,0)$ 的正方形。計算 $\displaystyle\iint_R (x+y)^2\sin^2(x-y)\,dA$。
步驟 1（選變數）
令 $$u=x+y,\qquad v=x-y.$$ 四個頂點分別對應到 $(u,v)=(1,-1),(3,-1),(3,1),(1,1)$，所以 $$S:\ 1\le u\le3,\ -1\le v\le1.$$
步驟 2（反解與雅可比）
$$x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2},\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\left|\det\begin{pmatrix}1/2&1/2\\[2pt]1/2&-1/2\end{pmatrix}\right|=\frac12.$$
步驟 3（換被積函數）
$$(x+y)^2\sin^2(x-y)=u^2\sin^2 v.$$
步驟 4（積分）
$$\iint_R (x+y)^2\sin^2(x-y)\,dA=\frac12\int_1^3u^2\,du\int_{-1}^{1}\sin^2v\,dv.$$
步驟 5（化簡）
$$\frac12\cdot\frac{26}{3}\left(1-\frac{\sin2}{2}\right)=\frac{13}{3}-\frac{13\sin2}{6}.$$
$\displaystyle\iint_R (x+y)^2\sin^2(x-y)\,dA=\frac{13}{3}-\frac{13\sin2}{6}$。
概念辨析 · $|J|$ 的方向、大小、絕對值
(1) 哪個變數對哪個：$\partial(x,y)/\partial(u,v)$（從 $u,v$ 變到 $x,y$ 的「放大率」）；倒過來 $\partial(u,v)/\partial(x,y)=1/J$。換變數時公式裡用前者。
(2) 絕對值不可漏：面積放大率 $|J|\ge 0$，符號代表方向（順 / 反向旋轉），積分要正向；漏取絕對值會在某些變換出現符號錯誤。
(3) $|J|=0$ 表示變換不可逆：在該點切向量退化（如極座標的原點 $r=0$）；要嘛從區域內排除單點，要嘛單獨檢驗極限。
(4) 邊界對應：必須確認變換在 $S$ 內為一對一。極座標 $\theta\in[0,2\pi)$（不含 $2\pi$），否則同一點被覆蓋兩次。
(5) 線性變換 $|J|=$常數：相應於 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，$|J|=|ad-bc|$。線性變換把方形變平行四邊形，整個區域的面積比例就是 $|J|$。
概念題
在二維變數變換 $T(u,v)=(x,y)=(g(u,v),h(u,v))$ 中，雅可比的絕對值 $|J|=\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$ 的幾何意義是？
數字題
求變換 $u=x+y,\ v=x-y$ 對應的 $\bigl|\partial(x,y)/\partial(u,v)\bigr|$。（提示：先反解 $x,y$ 再算行列式，或用倒數規則 $|\partial(x,y)/\partial(u,v)|=1/|\partial(u,v)/\partial(x,y)|$）
14.8 雅可比重點整理（補充）
- 變換公式：$\iint_R f(x,y)\,dx\,dy=\iint_S f(g(u,v),h(u,v))\,|\partial(x,y)/\partial(u,v)|\,du\,dv$。
- $|J|$ 的幾何意義：$(u,v)$ 處 $du\,dv$ 經 $T$ 後在 $(x,y)$ 的對應面積為 $|J|\,du\,dv$（局部面積放大率）。
- 三件事同步換：上下限（$R\to S$）、被積函數（$f(x,y)\to f(g,h)$）、$dx\,dy\to|J|\,du\,dv$。
- 常見變換：極座標 $|J|=r$；線性 $|J|=|\det A|$ 為常數；雙曲線族 $u=y/x,\ v=xy$ 把彎邊變直邊。
- 使用前要驗：(a) $T$ 在 $S$ 內一對一；(b) $|J|\ne 0$；(c) 取絕對值。
- 策略：選變換時看「能讓區域的不等式變最簡」，常常是把曲邊界變成直邊界（方形 / 矩形）。
速查 · 14.5–14.8
本頁速查
把所有公式、定理、決策表收在一起，方便回顧或考前複習。
$\displaystyle S=\iint_R\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA$
$\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sec\gamma$（切平面對 xy 的傾斜倍率），故 $dS\ge dA$。
$\displaystyle\iiint_Q f\,dV=\lim_{\|\Delta\|\to 0}\sum_i f(x_i,y_i,z_i)\,\Delta V_i$
特別地 $V(Q)=\iiint_Q dV$；本頁聚焦三重積分設定與體積計算。
$\displaystyle\iiint_Q f\,dV=\int_a^b\!\!\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}\!\!\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f\,dz\,dy\,dx$
換序時要重新表達 $Q$ 的不等式；策略：讓最內層的上下限最簡。
$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z;\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$
$|J|=r$；$r$ 是 xy 平面投影距離，不是 三維 距離。
$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,\ z=\rho\cos\phi$
$dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$
$\phi\in[0,\pi]$ 從 +z 軸量；赤道 $\phi=\pi/2$。$|J|=\rho^2\sin\phi\ge 0$，無需取絕對值。
$\displaystyle\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\!\begin{pmatrix}\partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v\end{pmatrix}$
幾何意義：在 $(u,v)$ 處 $du\,dv$ 經 $T$ 映到 $(x,y)$ 後的面積放大率。
$\displaystyle\iint_R f(x,y)\,dx\,dy=\iint_S f(g(u,v),h(u,v))\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv$
三件事同步換：上下限、被積函數、$dx\,dy\to|J|\,du\,dv$。要絕對值！
| 座標 | $dV$ | 適用 |
|---|
| 直角 | $dx\,dy\,dz$ | 盒形、平面切割 |
| 圓柱 | $r\,dr\,d\theta\,dz$ | 繞 $z$ 軸對稱、含 $\sqrt{x^2+y^2}$ |
| 球面 | $\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$ | 球對稱、含 $x^2+y^2+z^2$ |
| 看到這個 | 建議 | 備註 |
|---|
| 盒型 / 矩形長方體 $Q$ | 直角座標 | 不需任何雅可比因子 |
| 圓柱、圓盤、圓錐、繞 $z$ 軸旋轉體 | 圓柱座標 | $|J|=r$；底面 $D$ 換 $(r,\theta)$ 即可 |
| 球體、球殼、球與圓錐相交 | 球面座標 | $|J|=\rho^2\sin\phi$ |
| $f$ 含 $x^2+y^2$（不含 $z^2$） | 圓柱 | $x^2+y^2=r^2$ |
| $f$ 含 $x^2+y^2+z^2$ | 球面 | $x^2+y^2+z^2=\rho^2$ |
| $f$ 含 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ | 球面 | $\sqrt{\dots}=\rho$ |
| 區域邊界含 $y/x=$ 常數、$xy=$ 常數 | $u=y/x,\ v=xy$ | 把雙曲線變直線 |
| 區域邊界含 $x+y,\ x-y$ | $u=x+y,\ v=x-y$ | 把菱形變方形 |
球 $V=\dfrac{4\pi a^3}{3}$；半球 $\dfrac{2\pi a^3}{3}$；圓柱 $\pi r^2 h$；圓錐 $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$